线性代数知识点总结Word下载.docx
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若方程组存在非零解，则D等于零
aii
ai2
ai3
①转置行列式：
a21
a22
a23
a3i
a32
a33
②对称行列式：
a,
a
i
③反对称行列式
aj
a：
特殊行列式:
奇数阶的反对称行列式值为零
ai1
a31
a32
a33
④三线性行列式
方法：
用k£
22把a2i化为零，。
。
化为三角形行列式
⑤上（下）三角形行列式
行列式运算常用方法（主要）
行列式定义法（二三阶或零元素多的）
化零法（比例）
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第二章
矩阵
矩阵的概念:
Am.n（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）
矩阵的运算:
加法（同型矩阵）
交换、结合律
数乘kA（kaj）
m*n
分配、结合律
乘法
l
A*B（aik）m*l*（bkj）l*n（aikbkj）m*n
注意什么时候有意义
般AB=BA，不满足消去律；
由
AB=0，不能得A=0或B=0
转置（At）tA
（AB）T
at
bt
（kA）TkAJ
（AB）t
btat
（反序定理）
方幕：
Ak1Ak2Ak1
k2
数量矩阵：
相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵
A1B（非奇异矩阵、奇异矩阵
|A|=0、伴随矩阵
（A*1）k2A&
k2
k是数，则kA、A+B、
几种特殊的矩阵：
对角矩阵:
若AB都是N阶对角阵，
AB都是n阶对角阵
每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0
分块矩阵：
加法，数乘，乘法：
类似，转置：
每块转置并且每个子块也要转置
注：
把分出来的小块矩阵看成是元素
逆矩阵：
设A是N阶方阵，若存在N
阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的,
3、将某行（列）的K初等矩阵都可逆
倍乘阵倍加阵）
k乘某一行（列）
初等变换1、交换两行（列）2.、非零
倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵：
单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵
等价标准形矩阵DrIrO
OO
矩阵的秩r（A）:
满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩
求法：
1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别：
都是数表；
行列式行数列数一样，矩阵不一样；
行列式最终是一个数，只要值相等，
就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；
矩阵（kaij）nk（aij）n，行列式
kaj
knaj
逆矩阵注：
①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆；
③不是所有的方阵都存在逆矩阵；
④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律：
11
1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且（A1）1A
i11
2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且（kA）-A
k
3、可逆矩阵A的转置At也是可逆的，且（AT）1（A1）T
4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且（AB）1B1A1
1但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（AB）AB
A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A可逆，则A1A1
伴随矩阵：
A为N阶方阵，伴随矩阵：
A
A1A2
A21A22
（代数余子式）
特殊矩阵的逆矩阵：
（对1和
2，前提是每个矩阵都可逆）
1、分块矩阵D
A1
A1BC1
C1
2、准对角矩阵A
A2
A21
A3
A31
A41
3、AAAA
4、A*AA1
（A可逆）
5、A*An16、A*1A1丄A（A可逆）
力IA
7、AAt8、ABBA
判断矩阵是否可逆：
充要条件是A0，此时A1-1-A*
IAI
求逆矩阵的方法：
定义法AA1I
*
A
伴随矩阵法A1
初等变换法A|Inln|A1只能是行变换
初等矩阵与矩阵乘法的关系：
设Aaijm*n是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等
于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:
对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种
n阶初等矩阵右乘以A（行变左乘，列变右乘）
第三章线性方程组
消元法非齐次线性方程组：
增广矩阵t简化阶梯型矩阵
r（AB）=r（B）=r当r=n时，有唯一解；
当rn时，有无穷多解r（AB）r（B），无解
齐次线性方程组：
仅有零解充要r（A）=n有非零解充要r（A）<
n
当齐次线性方程组方程个数<
未知量个数，一定有非零解
当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个
N维向量：
由n个实数组成的n元有序数组。
希腊字母表示（加法数乘）
特殊的向量：
行（列）向量，零向量0,负向量，相等向量，转置向量
向量间的线性关系：
I线性组合或线性表示
向量组间的线性相关（无）：
定义R79
向量组的秩：
极大无关组（定义P188）
如果jj,..…j是向量组1,2,•.…s的线性无关的部分组，则它是
j1j2jr°
极大无关组的充要条件是：
1,2,••…s中的每一个向量都可由j1,j2,..…jr线性表出。
秩:
极大无关组中所含的向量个数。
设A为m*n矩阵，则r（A）r的充要条件是：
A的列（行）秩为r。
现性方程组解的结构：
齐次非齐次、基础解系
线性组合或线性表示注：
两个向量a3,若k则a是B线性组合单位向量组
任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注：
n个n维单位向量组一定是线性无关
一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关
向量B可由1,2,..n线性表示的充要条件是r（1T2t...nT）r（1T2t...nTT）
判断是否为线性相关的方法：
1、定义法：
设k1k2....kn，求k1k2....kn（适合维数低的）
2、向量间关系法R83:
部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
3、分量法（n个m维向量组）R80:
线性相关（充要）r（「鸟】…n\n
线性无关（充要）r（J2t....nT）n
推论①当m=n时，相关，则/2丁3丁0;
无关，则/230
②当m<
n时，线性相关
推广：
若向量!
2,...s组线性无关，则当s为奇数时，向量组!
2,23,...s1
也线性无关；
当s为偶数时，向量组也线性相关。
如果向量组1,2，...s，线性相关，则向量可由向量组1,2,...s线性表出，且
表示法唯一的充分必要条件是1,2,...s线性无关。
极大无关组注：
向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；
不全为零的向量组的极大无关组一定存在；
无关的向量组的极大无关组是其本身；
向量组与其极大无关组是等价的。
（I）的两个解的和12仍是它的解；
（I）解的任意倍数k还是它的解；
（I）解的线性组合Ci1C22....Css也是它的解，Ci,C2,...Cs是任意常数。
非齐次线性方程组（II）解的结构：
解为1,2...
（II）的两个解的差i2仍是它的解；
若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。
如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r（A）rn，则该方程组的基础解系存在，
且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。
若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是（II）的全部解。
第四章向量空间
向量的内积实向量
定义：
（a,3）=
aibia?
b2
and
性质：
非负性、对称性、线性性
（a,k3）=k（a,3）；
（ka,k3）=k（a,3）;
）=（a,）+（a）+（3,）+（3）;
rs
（kii,ljj）
i1j1
kilj（i
j）
Rn,
向量的长度J（,）
0的充要条件是a=0；
a是单位向量的充要条件是（a,a）=1
单位化
向量的夹角
正交向量：
a3是正交向量的充要条件是（
a,3）=0
正交的向量组必定线性无关
1T—1
1、若A为正交矩阵，则A可逆，且AA,且A也是正交矩阵;
2、若A为正交矩阵，则A1；
3、若A、E为同阶正交矩阵，则AE也是正交矩阵；
4、n阶矩阵A=（aj）是正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组是
标准正交向量；
第五章矩阵的特征值和特征向量
特征值、特征向量
A是N阶方阵，若数使AX=X，即（I-A）=0有非零解，则称为A的一
个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值的特征向量。
|A|=1*2*...n
1、AX=X
2、求特征值、特征向量的方法
IA0求i将i代入（l-A）X=0求出所有非零解
3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）
特殊：
（l）n的特征向量为任意N阶非零向量或C2（Ci不全为零）
Cn
4、特征值:
0）是A的特征值
则Am
则kA
若A2=A则
=0或
若A2=I则
=-1或
若Ak=O则
=0
迹tr（A）:
迹（A）=a11a22
ann
1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的
1
2、A与A1有相同的特征值
3、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关
4、5、P281
相似矩阵
定义P283:
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