圆幂定理老师用Word下载.docx
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已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中，AB、CD为弦，交于P.
PA·
PB＝PC·
PD.
连结AC、BD，证：
△APC∽△DPB.
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.
PC2＝PA·
PB.
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·
PB
连结TA、TB，证：
△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C
PD
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦
P'
C·
D＝r2－OP'
2
PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P'
O交⊙O于M，延长OP'
交⊙O于N，用相交弦定理证；
过P作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：
过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：
AE的值。
图1
解：
由切线长定理知：
AF＝AB＝1，EF＝CE
设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
∴，，
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
图2
由相交弦定理，得
AE·
BE＝CE·
DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，
，
∴，
即
∴CE＝3cm或CE＝4cm。
故应填3或4。
点拨：
相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
即，
故应填PC。
利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：
PB＝1：
4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：
4
∴PB＝4PA
又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴PB＝4×
6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为dcm，
由勾股定理，得
故应填。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，
（1）求证：
；
（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
图4
点悟：
要证，即要证△CED∽△CBE。
证明：
（1）连结BE
（2）
。
又∵，
∴厘米。
有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
图5
求证：
连结BD，
∵AE切⊙O于A，
∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD，
∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。
求证：
AD·
BC＝CD·
AB
图6
由结论AD·
AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAD＝∠PBA
又∠APD＝∠BPA，
∴△PAD∽△PBA
同理可证△PCD∽△PBC
∵PA、PC分别切⊙O于A、C
∴PA＝PC
∴AD·
BC＝DC·
例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°
，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。
图7
BC＝2OE。
由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。
而OA＝OB，只须证AE＝CE。
连结OD。
∵AC⊥AB，AB为直径
∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D
∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°
－∠B
∵∠ODE＝90°
∴∠C＝∠EDC
∴ED＝EC
∴AE＝EC
∴OE是△ABC的中位线
∴BC＝2OE
例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
当∠DEF＝45°
时，求证点G为线段EF的中点；
图8
由∠DEF＝45°
，得
∴∠DFE＝∠DEF
∴DE＝DF
又∵AD＝DC
∴AE＝FC
因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；
同理，CD切圆B于点C。
又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。
因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。
【模拟试题】
（答题时间：
40分钟）
一、选择题
1.已知：
PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）
A.B.C.5D.8
2.下列图形一定有内切圆的是（）
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
3.已知：
如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°
，则∠MCA的度数（）
A.50°
B.40°
C.60°
D.55°
4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：
4，则另一弦长为（）
A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm
5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）
A.B.
C.D.
6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）
A.20B.10C.5D.
二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
8.已知：
⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·
PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
三、解答题
11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：
CB平分∠DCP。
13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。
【试题答案】
1.A2.C3.A4.B5.B6.A
7.908.19.3010.
三、解答题：
11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm
12.证明：
连结AC，则AC⊥CB
∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1
∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，
∴BC平分∠DCP
13.设BM＝MN＝NC＝xcm
又∵
又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB
在Rt△ABC中，由勾股定理，得，
由割线定理：
，又∵
∴半径为。
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