线性代数第四章习题答案文档格式.docx

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对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为（为任意常数）．

对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值3的全部特征向量为（为任意常数）．

（3）矩阵的特征多项式为

对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-2的全部特征向量为（为任意常数）．

（4）矩阵的特征多项式为

所以的特征值为（二重），．

（5）矩阵的特征多项式为

所以的特征值为，（二重）．

对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值0的全部特征向量为（为任意常数）．

（6）矩阵的特征多项式为

对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，所以的属于特征值6的全部特征向量为（为任意常数）．

对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，，所以的属于特征值2的全部特征向量为（为不全为零的任意常数）．

2．设为阶矩阵，

（1）若，且存在正整数，使得（称为幂零矩阵），证明:

的特征值全为零；

（2）若满足（称为幂等矩阵），证明:

的特征值只能是0或1；

（3）若满足（称为周期矩阵），证明:

的特征值只能是1或．

证明：

设矩阵的特征值为，对应的特征向量为，即.

（1）因，而故.又因，故，得

（2）因，而故，即又因，故，得或1.

（3）同

（2）可得，即又因，故，得或.

3．设分别为阶矩阵的属于不同特征值和的特征向量，证明:

不是的特征向量．

反证法.若是的特征向量，相应的特征值为，则有

即.又因分别为矩阵的属于特征值和的特征向量，即，，则

，即.

因是矩阵的属于不同特征值的特征向量,故线性无关，于是可得，即，矛盾.

4．证明定理4.4.

若是阶矩阵的特征值，则

（1）设，则是的特征值，其中；

（2）若可逆，则，且是的特征值，是的伴随矩阵的特征值．

设矩阵属于特征值的特征向量为，即.

（1）因

故是的特征值.

（2）因可逆，故.而为的特征值之积，故的特征值.用左乘两端得

.

因，故，即是的特征值.

因，故是的伴随矩阵的特征值．

5．证明:

矩阵可逆的充分必要条件是的特征值全不等于零．

因矩阵可逆，故.由是的全部特征值）得，故.

6．已知三阶矩阵的特征值为1，2，3，求的特征值．

解：

由矩阵的特征值的性质得

的特征值为，，；

的特征值为；

因的特征值为.

7．是三阶矩阵，已知，求．

因，故三阶矩阵的全部特征值为－1，2，3.因此的特征值为于是.

8．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数的值．

因是的特征向量，故也是的特征向量.设对应的特征值为，于是由可得

解得或.

9．证明:

如果矩阵可逆，则．

因，且可逆，则．

10．如果，证明：

存在可逆矩阵，使得．

因，故存在可逆矩阵，使得.将上式两端右乘，得，即.

11．如果，，证明:

．

因，，故存在可逆矩阵，使得

于是有

而可逆，故.

12．已知为二阶矩阵，且，证明:

存在可逆矩阵，使得为对角矩阵．

为二阶矩阵，且，故必有两个不等特征值，因此必存在可逆矩阵，使得为对角矩阵．

13．已知矩阵与矩阵相似，求

（1）常数和的值；

（2）可逆矩阵，使得．

（1）因，故有相同的特征值.而的特征值为，故－1，2也是的特征值.而

将代入上式中得.于是可得，故有的特征值为，因此.

（2）由

（1）知的特征值为，（二重）．

对应的无关特征向量为，对应的无关特征向量为，，令

则可逆，且.

14．设三阶矩阵的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为，，，求

（1）；

（2）．

（1）令，则.而

则.

（2）因，所以，故

15．判断第1题中各矩阵是否可以对角化?

若可以对角化，求出可逆矩阵，使得为对角阵．

由第1题结果知

（1）可以对角化，；

（2）可以对角化，；

（3）可以对角化，；

（4）（5）不可以对角化；

（6）可以对角化，．

16．证明正交矩阵的实特征值只能是1或．

设为正交矩阵，则.设矩阵的特征值为，对应的特征向量为，即.将上式两端取转置得.将上面两式左右相乘得，即.而为非零常数，故.

17．设，求正交矩阵，使得为对角阵．

矩阵的特征多项式为

对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为，．

将其正交化，取

再单位化，得

；

对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系为．将其单位化，得

令，则．

18．设三阶实对称矩阵的特征值为，属于的特征向量为，求属于的特征向量及矩阵．

设属于的无关特征向量为.因是实对称矩阵，故的特征向量必正交，于是

即是齐次线性方程组的两个线性无关解向量.求得上述方程组的基础解系为，，故取，，因此属于的全部特征向量为（不全为零）；

令，则.

而，故．

（B）

1．设阶矩阵的各行元素之和为常数，证明:

是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量．

设，其中.由

知是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量．

2．设都是非零向量，且，记，求

（1）；

（2）的特征值与特征向量．

（1）由得，于是

（2）由A组第2题

（1）知的特征值为0.

求的特征向量.，因都是非零向量，故必存在某个和不为零，因此中元素，不妨设.

将做初等行变换得，即，故齐次线性方程组的基础解系含有个解向量.令为，，，得

，，，

于是所求特征向量为

，不全为零）.

3．已知三阶矩阵的特征值为2，3，4，对应的特征向量分别为，，．令向量，

（1）将用线性表示；

（2）求（为正整数）．

（1）由

得.

（2）

4．设为三阶实对称矩阵，，且满足条件，求矩阵的全部特征值．

设矩阵的特征值为，则由得，故或.因为三阶实对称矩阵，故必与某三阶对角矩阵相似.因，故，所以的对角线元素有两个－２和一个0.因此的全部特征值为（二重），．

5．设四阶矩阵满足，求的一个特征值．

因，故矩阵可逆.由知得.因得是矩阵的一个特征值，因此的一个特征值为．

6．设有3个线性无关的特征向量，求与满足的条件．

所以的特征值为，（二重）．因有3个线性无关的特征向量，故齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，即.而

于是．

7．问阶矩阵与是否相似，为什么?

令，，则.

矩阵的特征值为重），.对应的齐次线性方程组的系数矩阵为

故属于的无关特征向量有个；

对应的齐次线性方程组的系数矩阵为

故属于的无关特征向量有1个.因此矩阵有个线性无关的特征向量，故可对角化，且

因为，故的特征值必有0和非零数值.因，故特征值0有个线性无关的特征向量，所以0的重数至少为，则的非零特征值为，因此矩阵的特征值为重），.因为实对称矩阵，故必可对角化，且，于是.

8．设为阶矩阵，，且存在正整数，使得，证明不能对角化．

反证法.假设可对角化，由A组第2题

（1）知，的特征值都为0，故，即存在可逆矩阵，使得，则，矛盾.

9．设矩阵矩阵，求．

矩阵的特征方程为，所以的特征值为，，（二重）．因矩阵是实对称矩阵，故属于的线性无关的特征向量必有2个，即.因，则的特征值只有0，－２，3（二重），且属于3的线性无关的特征向量也有2个，即.因1不是矩阵的特征值，故，即.因此.