第1章解三角形复习上课学习上课学习教案Word文件下载.docx
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本节课我们将对全章的知识、方法进行系统的归纳总结；
系统掌握解三角形的方法与技巧．由此展开新课的探究．
推进新课
新知探究
提出问题
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#61472;
&
#61480;
1&
#61481;
本章我们学习了哪些知识内容？
请画出本章的知识结构图
2&
解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用？
3&
在解三角形时应用两个定理要注意些什么问题？
若求一个三角形的角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎样选择较好？
4&
本章中解三角形的知识主要应用于怎样的一些问题？
5&
总结从初中到高中测量河流宽度和物体高度的方法.
活动：
教师引导学生画出本章知识框图，教师打出演示：
从图中我们很清晰地看出本章我们学习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形，由于本章内容实践性很强，之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用．教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下：
正弦定理、余弦定理：
asinA＝bsinB＝csinc，
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosc.
正弦定理、余弦定理的应用：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
①已知三边，求三个角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
在求解一个三角形时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要尽量选择运算量较小，不产生讨论的方法求解．若求边，尽量用正弦定理；
若求角，尽量用余弦定理．
除了正弦定理、余弦定理外，我们还学习了三角形面积公式S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinc，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积．
教师利用多媒体投影演示如下：
解斜三角形时可用的
定理和公式
适用类型
备注
余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝b2＋a2－2bacosc
已知三边
已知两边及其夹角
类型有解时只有一解
正弦定理
asinA＝bsinB＝csinc＝2R
已知两角和一边
已知两边及其中一边的对角
类型在有解时只有一解，类型可有两解、一解和无解
三角形面积公式
S＝12bcsinA
＝12acsinB
＝12absinc
教师点拨学生，以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体．实际上，正弦定理只是初中“三角形中大角对大边，小角对小边”的边角关系的量化．余弦定理是初中“已知两边及其夹角，则这两个三角形全等”的量化，又是勾股定理的推广．本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上，应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题．
在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时，需注意以下几点：
①在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在内不严格单调，所以角的个数可能不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解，不多解．
②在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时，余弦定理会省去取舍的麻烦，但同时要注意在根据三角函数求角时，应先确定其范围．
③在进行边角，角边转换时，注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式．
讨论结果：
、、略．
在应用两个定理求解时，注意与平面几何知识的融合．若求解一个三角形时两个定理都可用，则求边宜选正弦定理，求角宜选余弦定理，但要具体问题具体分析，从中选择最优解法．
本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题．
应用示例
例1判断满足下列条件的三角形形状．
acosA＝bcosB；
sinc＝sinA＋sinBcosA＋cosB.
教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪些．学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径：
化边为角，化角为边．鼓励学生尽量一题多解，比较各种解法的优劣．
解：
方法一：
用余弦定理，得a×
b2＋c2－a22bc＝b×
c2＋a2－b22ca.
∴c2＝a4－b4＝．
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴三角形是等腰三角形或直角三角形．
方法二：
用正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵A、B为三角形的内角，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°
.
∴A＝B或A＋B＝90°
因此三角形为等腰三角形或直角三角形．
方法一：
先用正弦定理，可得c＝a＋bcosA＋cosB，即c&
#8226;
cosA＋c&
cosB＝a＋b.
再用余弦定理，得c&
b2＋c2－a22bc＋c&
a2＋c2－b22ac＝a＋b.
化简并整理，得a3＋b3＋a2b＋ab2－ac2－bc2＝0，
＝0.
∵a＞0，b＞0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
∴三角形为直角三角形．
∵sinA＝sin，sinB＝sin，
∴原式可化为sinc&
cosA＋cosB&
sinc
＝sinA＋sinB＝sin＋sin
＝sinB&
cosc＋cosB&
sinc＋sinA&
cosc＋cosA&
sinc.
∴sinB&
cosc＋sinA&
cosc＝0，
即cosc＝0.
∵0°
＜A＜180°
，0°
＜B＜180°
，
∴sinA＋sinB≠0.∴cosc＝0.
又∵0°
＜c＜180°
，∴c＝90°
.∴三角形为直角三角形．
点评：
第题中的第2种解法得出sin2A＝sin2B时，很容易直接得出2A＝2B，所以A＝B.这样就漏掉了一种情况，因为sin2A＝sin2B中有可能推出2A与2B两角互补，这点应引起学生注意．第题中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选择，但学生不易想到，因此熟悉三角形中sinA＝sin，cosA＝－cos等常见结论对解三角形大有益处．
变式训练
△ABc的三内角A、B、c的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB等于
A.53
B.54
c.55
D.56
答案：
B
解析：
由题意得ab＝52＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB，cosB＝54.
例2在△ABc中，若△ABc的面积为S，且2S＝2－c2，求tanc的值．
本题涉及三角形的面积，面积公式又是以三角形的三边a、b、c的形式给出，从哪里入手考虑呢？
教师可先让学生自己探究，学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条件，但三角形面积公式S＝12absinc＝12acsinB＝12bcsinA有三个，代入哪一个呢？
且代入以后的下一步方向又是什么呢？
显然思路不明．这时教师适时点拨可否化简等式右边呢？
这样右边为2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab.用上余弦定理即得a2＋b2－c2＋2ab＝2abcosc＋2ab，这就出现了目标角c，思路逐渐明朗，由此得到题目解法．
由已知，得2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab
＝2abcosc＋2ab＝2×
12absinc.
∴2＝sinc，
2×
2cos2c2＝2sinc2&
cosc2.
，∴0°
＜c2＜90°
，即cosc2≠0.
∴tanc2＝2.∴tanc＝2tanc21－tan2c2＝41－4＝－43.
通过对本题的探究，让学生认识到拿到题目后不能盲目下手，应先制定解题策略，寻找解题切入口．
在△ABc中，tanA＝14，tanB＝35.
求角c的大小；
若AB边的长为17，求Bc边的长．
∵c＝180°
－，
∴tanc＝－tan＝－14＋351－14×
35＝－1.
，∴c＝135°
∵tanA＝sinAcosA＝14，sin2A＋cos2A＝1,0°
＜A＜90°
∴sinA＝1717.
由正弦定理，得ABsinc＝BcsinA，∴Bc＝AB&
sinAsinc＝2.
例3将一块圆心角为120°
，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有如图、的两种裁法：
让矩形一边在扇形的一条半径oA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？
并求出这个最大值．
本题是北京西城区的一道测试题，解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤，让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型，然后用相关的数学知识来解决．
按图的裁法：
矩形的一边oP在oA上，顶点m在圆弧上，设∠moA＝θ，则|mP|＝20sinθ，|oP|＝20cosθ，从而S＝400sinθcosθ＝200sin2θ，即当θ＝π4时，Smax＝200.
矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠moQ＝θ，在△moQ中，∠oQm＝90°
＋30°
＝120°
由正弦定理，得|mQ|＝20sinθsin120°
＝4032sinθ.
又因为|mN|＝2|om|sin＝40sin，
所以S＝|mQ|&
|mN|＝160033sinθsin
＝1
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