数学建模课后习题作业Word格式.docx

数学建模课后习题作业Word格式.docx

《数学建模课后习题作业Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模课后习题作业Word格式.docx（33页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：

已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g（θ）＝0，证明：

存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

【模型求解】

如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。

这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0，f（π）＝0。

令h（θ）＝f（θ）－g（θ），由f（θ）和g（θ）的连续性知h（θ）也是连续函数。

又h（0）＝f（0）－g（0）＞0，h（π）＝f（π）－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；

又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。

于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。

【模型讨论】

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．

2、人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

【符号说明】

：

代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0；

代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；

代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0；

代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0；

状态向量，代表时刻K左岸的状态；

决策向量，代表时刻K船上的状态；

限制条件：

初始状态：

目标：

确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由

根据乘法原理，四维向量共有种情况，根据限制条件可以排除三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行匹配，易知可行决策集仅有五个元素：

状态集有8个元素，将其进行匹配，共有两种运送方案：

方案一：

人先带鸡过河，然后人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；

方案二：

人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2）。

表1：

方案一的状态与决策

时刻

左岸状态

船上

（1,1,1,1）

（0,0,0,0）

（0,1,0,1）

（1,0,1,0）

（1,1,0,1）

（1,0,0,0）

（0,1,0,0）

（1,0,0,1）

（1,1,1,0）

（0,0,1,0）

（1,1,0,0）

表2：

方案二的状态与决策

（0,0,0,1）

（1,0,1,1）

3、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。

设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。

这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。

报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；

如果购进太多，卖不完，将要赔钱。

请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。

设每日的订购量为n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。

订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。

为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。

n的意义。

n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。

所以，笔者认为n的意义是双重的。

本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。

1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。

2、假设报纸每日的需求量是r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的分布函数,只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。

3、假设每日的定购量是n。

4、报童的目的是尽可能的多赚钱。

应该根据需求量r确定需求量n，而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。

而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。

但是要得到n值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。

由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。

现在用简单的数学式表示这三种结果。

1、赚钱。

赚钱又可分为两种情况:

①r>

n，则最终收益为（a-b）n 

（1）

②r<

n，则最终收益为（a-b）r-（b-c）（n-r）>

0 

整理得：

r/n>

（b-c）/（a-c） 

（2）

2、由

（2）式容易得出不赚钱不赔钱。

r/n=（b-c）/（a-c） 

（3）

3、赔钱。

r/n<

（4）

首先由

（1）式可以看出n与最终的收益呈正相关。

收益越多，n的取值越大。

但同时订购量n又由需求量r约束，不可能无限的增大。

所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。

然后分析（3）、（4）两式。

因为（3）、（4）分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由（3）、（4）两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。

最后重点分析

（2）式。

显然式中r表需求量，n表订购量，（b-c）表示退回一份儿报纸赔的钱。

因为（a-c）无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。

由a>

b>

c,可得a-c>

a-b，而（a-b）恰好是卖一份报纸赚得的钱。

然后采用放缩法，把

（2）式中的（a-c）换成（a-b），得到

（b-c）/（a-b） 

（5）

不等式依然成立。

由（5）式再结合

（1）式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱（b-c）与赚钱（a-b）的比值就应越小。

当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。

5、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

各种艇虽大小不同，但形状相似。

现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。

符号

意义

艇长

艇宽

总功率

艇排水体积

艇与浆手总重

赛艇净重

重量级浆手重量

轻量级浆手总重

艇的浸没面积

重量级艇速

轻量级艇速

艇前进时受到的阻力

重量级赛艇成绩（时间）

轻量级赛艇成绩（时间）

比例常数

1．为常数，赛艇净重与浆手数目成正比，即；

2．赛艇前进时收到阻力与成正比；

3.每个浆手比赛时划桨功率保持不变，且功率与体重成正比。

克服阻力做功功率为，因此总功率满足，且，我们用量纲法进行建模：

对于重量级八人赛艇：

（1）

（2）

（3）

由上述各式有：

，因此（4）

且已知（5）

又赛艇总重;

由于假设2可知：

（为常数），因此有。

我们如下定义：

（6）

从而（7）

根据阿基米德定律,根据（7）式：

（8）

将（8）式代入（5）式中有：

（9）

将（9）式代入（4）式中有：

（10）

因为V与t成反比，有：