数值分析课后习题答案Word下载.doc
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er（μ）=e（μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣f/xi∣δxi
er（μ1）≦1/∣μ1∣［x2x3δx1+x1x3δx2+x1x2δx3］
=0.34468/88.269275
=0.0039049
er（μ2）≦1/∣μ2∣［-x3x4/x21δx1+x4/x1δx3+x3/x1δx4］
=0.49707
3.设精确数ａ>
0，x是ａ的近似值，x的相对误差限是0.2，求㏑x的相对误差限。
δr≦Σni=1∣f/xi∣δxi
=1/㏑x·
1/x·
δx=δrx/㏑x=0.2/㏑x即δr≦0.2/㏑x
4.长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm2。
S=2（xy+yz+zx）
δrS≦［（x+y）δz+（y+z）δx+（z+x）δy］/∣xy+yz+zx∣
δx=δy=δz
δrz≦（x+y+z）δx/∣xy+yz+zx∣<
1
∴δx<
17/6≈1.0625
5.
6.改变下列表达式，使计算结果更准确。
（1）
（2）
（3）（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
7、计算的近似值，取。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
解：
计算各项的条件数
由计算知，第一种算法误差最小。
在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
解：
浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；
离原点越远，分布越稀疏。
一般浮点数集的分布也符合此规律。
10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
此算法是数值稳定的。
第二章习题解答
1.
（1）Rn×
n中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。
（2）Rn×
n中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
设A是ｎ×
ｎ的正交矩阵。
证明A-1也是ｎ×
证明：
（2）A是ｎ×
ｎ的正交矩阵
∴AA-1=A-1A=E故（A-1）-1=A
∴A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1=E故A-1也是ｎ×
设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异
又AT=A∴（A-1）T=（AT）-1=A-1
故A-1也是非奇异的对称阵
设A是单位上（下）三角阵。
证A-1也是单位上（下）三角阵。
A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为（bij）n×
n
由AA-1=E，则（其中j＞i时，）
故bnn=1,bni=0（n≠j）
类似可得，bii=1（j=1…n）bjk=0（k＞j）
即A-1是单位上三角阵
综上所述可得。
Rn×
2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。
A=
解：
A=～～～
故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为，
3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
A1=，A2
A1=，|I-A1|==
，
解（1I-A）x=0得
解（2I-A）x=0得
4、已知矩阵，求A的行空间及零空间的基。
5、已知矩阵，试计算A的谱半径。
6、试证明，其中
。
7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐标，其中1=（1，1，1，1）T，2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。
由x=sy得y-4=s-1x=
8、在中向量，取基，求。
9、已知R3中两组基
S1={1，2，3}=，S2={1，2，3}=
①求从S1到S2的过度矩阵；
②设已知u=（2，1，2）TR3求u在S1下的坐标和u在S2下的坐标。
①A=S1-1S2=
②对u=（2，1，2）T
在S1下，由u=S1x可求出x=S1-1u=
在S2下，由u=S2x可求出x=S2-1u=
10.已知A=，求dim（R（A））,dim（R（AT））,dim（N（A））.
A=
dim（R（A））=dim（R（AT））=r（A）=2
dim（N（A））=n-r=4-2=2
11、已知A=span{1,ex,e-x},D=是X上的线性变换，求
①D关于基S1={1,2ex,3e-x}的矩阵A；
②D关于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩阵B。
①由Dx=S1A,设A=[X
（1），X
（2），X（3）]
D
（1）=0，0=S1X
（1）=0·
1+0·
2ex+0·
3e-x,X
（1）=（0,0,0）T
D（ex）=ex,ex=S1X
（2）=0·
1+·
3e-x,X
（2）=（0,,0）T
D（e-x）=-e-x,-e-x=S1X（3）=0·
2ex+·
3e-x,X
（2）=（0,0,）T
②类似的可得D关于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩阵B为
12、已知线性变换T：
P2（t）→P3（t）,定义T为T（P（t））=求线性变换T在基偶（S1={1,t,t2},S2={1,t，t2/2,t3/3}）下的矩阵。
设所求矩阵为A，则有TS1=S2A
T
（1）=
T（t）=
T（t2）=
13、设ARm×
n,定义从Rn到Rm的变换T为T：
xRn→y=AxxRm
试证明T是线性变换。
，有
故，由定义知，T是线性变换。
14、已知R3中取基S1=，R2中取基S2=。
线性变换T：
R3→R2定义为x=（x1，x2，x3）TR3，Tx=（x2+x3，x1+x3）TR2.
求①T在（S1，S2）下的矩阵A；
②设u=（2，-3，2）TR3，u在S1下的坐标和Tu在S2下的坐标。
①由题知，T（S1）=S2A
②对u=（2，-3，2）T在S1下
由可求出
在S2下
15、求由向量1=（1，2，1）T与2=（1，-1，2）T张成的R3的子空间X=span{1,2}的正交补（即所有与X垂直的向量的全体）。
解：
令解得
故=
16、试证明若{1，2，…，t}是内积空间H中不含零向量的正交向量组，则1，2，…，t必线性无关。
假设存在使
两边与作内积得
又（因故
故1，2，…，t必线性无关。
17、计算下列向量的‖x‖∞，‖x‖1和‖x‖2。
①x=（3，-4，0，3/2）T
②x=（2，1，-3，4）T③x=（sink,cosk,2k）Tk为正整数。
①‖x‖∞=
②‖x‖∞=
③‖x‖∞=
18、
20、
21、试计算，，，其中m,n是正整数。
22、已知，试计算，，，。
23、在上，由构造带权的首1正交多项式，和。
24、给出点集及权，试构造正交函数组，和。
25、。
26、试求矩阵A的三角分解A=LU。
A=
对不选列主元和选列主元两种情况分别计算。
A=
对选列主元的
27、已知向量，试构造Gauss变换阵将向量x变为。
28、已知向量x=（1，2，2）T，y=（0，3，4）T。
试构造Huuseholder阵H使Hx为y的倍数，即Hx=ky。
给出变换阵H和系数k。
29、对矩阵A=，用Huuseholder变换将A相似约化为三对角阵，即HAH为三对角阵。
将向量变换为，则
构造H阵为
30.已知矩阵A=，使用①Schmidt正交化法和②Huuseholder方法对A正交分解A=QR。
①A=Schmidt正交化
，
②用Householder变换法
先将变为,则
第三章习题解答
1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解。
（1）经初等行变换化为
当时，方程组有解，解为
（2）经初等行变换化为
2.证明下列方程组Ax=b
当
（1）时无解；
（2）时有无穷多组解。
（1）r（A）=3r（A,b）=4当时无解；
（2）r（A）=3,r（A,b）=3当时有无穷多组解。
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