word完整版相似三角形六大证明技巧提高类技巧训练docWord文档下载推荐.docx
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1.已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：
（1）AEABAFAC
（2）∠BEO=∠CFO，
∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB
F
BC
13
2.已知在△ABC中,∠ABC=90°
AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如
图2）于点P.
（1）当点P在线段AB上时,求证：
△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长。
模块一相似三角形证明方法之射影定理与类射影
模型三：
射影定理
如图已知△ABC，∠ACB=90°
，CH⊥AB于H，求证：
AC
2
AHAB，BC2
BHBA，，
HC2
HAHB，试一试写出具体证明过程
C
AHB
模型四：
类射影
如图，已知
BD
AB
ACAD，求证：
，试一试写出具体证明过程
BC
AC
14
1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求
证：
2.如图，在△ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，连EF，求证：
∠AEF=∠C
BDC
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模块一相似三角形证明方法之一线三等角
模型五：
一线三等角
如图，已知∠B=∠C=∠EDF，则△BDE∽△CFD（AA），试一试写出具体证明过程
AEA
FF
EAE
D图1
D图2
D图3
1.如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°
，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：
△BPE≌△CQE；
（2）
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：
△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）
16
2.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B
（1）如图
（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图
（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图
（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC
的面积的时，求线段EF的长．
3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，
。
（1）求证：
。
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交
直线于点。
①当点与、两点不重合时，求的值。
②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）
长。
（直接写出结果，不必写出解答过程）
17
模块二
比例式的证明方法之三点定型
通过前面的学习，
我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），
也离不开上述的
6种“相似模型”.但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，
怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，
让
复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧
.
技巧一：
三点定型法
技巧二：
等线段代换
技巧三：
等比代换
技巧四：
等积代换
技巧五：
证等量先证等比
技巧六：
几何计算
三点定型
横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。
1.如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，
ABC的平分线BE交AC于E，交AD于
BF
AB．
F．求证：
BE
2.如图，平行四边形
ABCD中，E是AB延长线上的一点，
DE交BC于F，求证：
DC
CF．
AE
AD
3.如图，△ABC中，
BAC90，M为BC的中点，DM
BC交CA的延长线于D，交AB
于E．求证：
AM2
MDME
BMC
18
模块二比例式的证明方法之等线段代换
若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再
用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：
等线段代换，等比代换，等积代换
1
如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交
AD于E，交BC的延长线于
【例】
F，求证：
FDFBFC
证明:
连接AF,
是
的平分线,
是AD的垂直平分线,
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）,
（等边对等角）,
又,
19
【例2】
如图，四边形ABCD是平行四边形，点
E在边BA的延长线上，CE交AD于F，
ECAD．求证：
ACBECEAD．
AB
【例3】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°
，∠DAE=45°
，求证：
ABBECD
BDEC
4
如图，
△ABC
中，
，AD是中线，P是AD上一点，过
作
CF∥AB
，
延长BP交AC于E，交
CF于F．求证：
BP2
PEPF．
P
20
比例式的证明方法之等比代换
【例5】
如图，平行四边形
ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线
于F，求证：
OB
OEOF．
【解题方法提示】
要证OB2=OF·
OE，即证=，接下来你有思路了吗？
因为AB∥CE，由平行线分线段成比例定理，可得=；
同理因为AF∥BC，可得=，由等式的传递性，问题即可得证.
证明：
∵AB∥CE，
∴=.
∵AF∥BC，
∵=，
∴=，
∴OB2=OE·
OF．
【例6】如图，在△ABC中，已知A90时，ADBC于D，E为直角边AC的中点，
过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：
ABAFACDF．
21
【例7】如图，在△ABC中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：
BPCECPBD
DE
BCP
例8.
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：
DP=PE；
BQPC
（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°
，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：
MN2=DM?
EN．
22
模块二比例式的证明方法之等积代换
8
中，BD、
CE
是高，
EH
于H、交BD于
G
、交
CA
的延长
线于M．求证：
HE2
HGMH．
M
BHC
9
如图，在△ABC中，
BAC90，D为
中点，AE
BD，E为垂足，求证：
CBDECD．
【例10】在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证MN2
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