工程数学线性代数第五版答案02Word文档格式.docx
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解.
（2）;
解=（1⨯3+2⨯2+3⨯1）=（10）.
（3）;
解.
（4）;
（5）;
=（a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3）
5.设,,问:
（1）AB=BA吗?
解AB≠BA.
因为,,所以AB≠BA.
（2）（A+B）2=A2+2AB+B2吗?
解（A+B）2≠A2+2AB+B2.
因为,
但,
所以（A+B）2≠A2+2AB+B2.
（3）（A+B）（A-B）=A2-B2吗?
解（A+B）（A-B）≠A2-B2.
因为,,
而,
故（A+B）（A-B）≠A2-B2.
6.举反列说明下列命题是错误的:
（1）若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A≠0.
（2）若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.
（3）若AX=AY,且A≠0,则X=Y.
解取
,,
则AX=AY,且A≠0,但X≠Y.
7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,Ak.
解,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
8.设,求Ak.
解首先观察
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立，则k+1时，
由数学归纳法原理知:
9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A,所以
（BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以
（AB）T=（BA）T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性:
因为AT=A,BT=B,且（AB）T=AB,所以
AB=（AB）T=BTAT=BA.
11.求下列矩阵的逆矩阵:
解.|A|=1,故A-1存在.因为
故.
解.|A|=1≠0,故A-1存在.因为
所以.
解.|A|=2≠0,故A-1存在.因为
（4）（a1a2⋅⋅⋅an≠0）.
解,由对角矩阵的性质知
12.解下列矩阵方程:
解
（4）.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
解方程组可表示为
故,
从而有.
（2）.
故有.
14.设Ak=O（k为正整数）,证明（E-A）-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为
E-Ak=（E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）,
所以（E-A）（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）=E,
由定理2推论知（E-A）可逆,且
（E-A）-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明一方面,有E=（E-A）-1（E-A）.
另一方面,由Ak=O,有
E=（E-A）+（A-A2）+A2-⋅⋅⋅-Ak-1+（Ak-1-Ak）
=（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）（E-A）,
故（E-A）-1（E-A）=（E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1）（E-A）,
两端同时右乘（E-A）-1,就有
（E-A）-1（E-A）=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及（A+2E）-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A（A-E）=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即（A+2E）（A-3E）=-4E,
或
由定理2推论知（A+2E）可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即|A||A-E|=2,
故|A|≠0,
所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.
由A2-A-2E=O⇒A（A-E）=2E
⇒A-1A（A-E）=2A-1E⇒,
又由A2-A-2E=O⇒（A+2E）A-3（A+2E）=-4E
⇒（A+2E）（A-3E）=-4E,
所以（A+2E）-1（A+2E）（A-3E）=-4（A+2E）-1,
16.设A为3阶矩阵,,求|（2A）-1-5A*|.
解因为,所以
=|-2A-1|=（-2）3|A-1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.
17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且（A*）-1=（A-1）*.
证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有
|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1≠0,
从而A*也可逆.
因为A*=|A|A-1,所以
（A*）-1=|A|-1A.
又,所以
（A*）-1=|A|-1A=|A|-1|A|（A-1）*=（A-1）*.
18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
（1）若|A|=0,则|A*|=0;
（2）|A*|=|A|n-1.
证明
（1）用反证法证明.假设|A*|≠0,则有A*（A*）-1=E,由此得
A=AA*（A*）-1=|A|E（A*）-1=O,
所以A*=O,这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时,有|A*|=0.
（2）由于,则AA*=|A|E,取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0,由
（1）知|A*|=0,此时命题也成立.
因此|A*|=|A|n-1.
19.设,AB=A+2B,求B.
解由AB=A+2E可得（A-2E）B=A,故
20.设,且AB+E=A2+B,求B.
解由AB+E=A2+B得
（A-E）B=A2-E,
即（A-E）B=（A-E）（A+E）.
因为,所以（A-E）可逆,从而
21.设A=diag（1,-2,1）,A*BA=2BA-8E,求B.
解由A*BA=2BA-8E得
（A*-2E）BA=-8E,
B=-8（A*-2E）-1A-1
=-8[A（A*-2E）]-1
=-8（AA*-2A）-1
=-8（|A|E-2A）-1
=-8（-2E-2A）-1
=4（E+A）-1
=4[diag（2,-1,2）]-1
=2diag（1,-2,1）.
22.已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E,求B.
解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3（A-E）-1A=3[A（E-A-1）]-1A
23.设P-1AP=Λ,其中,,求A11.
解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1,所以A11=A=PΛ11P-1.
|P|=3,,,
24.设AP=PΛ,其中,,
求ϕ（A）=A8（5E-6A+A2）.
解ϕ（Λ）=Λ8（5E-6Λ+Λ2）
=diag（1,1,58）[diag（5,5,5）-diag（-6,6,30）+diag（1,1,25）]
=diag（1,1,58）diag（12,0,0）=12diag（1,0,0）.
ϕ（A）=Pϕ（Λ）P-1
25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.
证明因为
A-1（A+B）B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1（A+B）B-1是三个可逆矩阵的乘积,所以A-1（A+B）B-1可逆,即A-1+B-1可逆.
（A-1+B-1）-1=[A-1（A+B）B-1]-1=B（A+B）-1A.
26.计算.
解设,,,,
则,
所以,
即.
27.取,验证.
28.设,求|A8|及A4.
解 令,,
29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求
解设,则
由此得⇒,
解设,则
30.求下列矩阵的逆阵:
解设,,则
.
于是.
解设,,,则
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