大一高等数学期末考试试卷及答案详解Word格式.doc
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2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积.
3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.
4.（7分）求函数在上的最小值和最大值.
五、证明题（6分）
设在区间上连续,证明
（二）
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数，则是的第类间断点.
2．函数，则.
3．.
4．曲线在点处的切线方程为.
5．函数在上的最大值，最小值.
6．.
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件；
充分但非必要条件；
充分必要条件；
无关条件.
2．下列各式正确的是（）.
；
；
.
3．设在上，且，则曲线在上.
沿轴正向上升且为凹的；
沿轴正向下降且为凹的；
沿轴正向上升且为凸的；
沿轴正向下降且为凸的.
4．设，则在处的导数（）.
等于；
等于；
不存在.
5．已知，以下结论正确的是（）.
函数在处有定义且；
函数在处的某去心邻域内有定义；
函数在处的左侧某邻域内有定义；
函数在处的右侧某邻域内有定义.
三、计算（每小题6分，共36分）
1．求极限：
.
2.已知，求.
3.求函数的导数.
4..
5..
6.方程确定函数，求.
四、（10分）已知为的一个原函数，求.
五、（6分）求曲线的拐点及凹凸区间.
六、（10分）设，求.
（三）
一、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）.
（1）=_____________.
（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________.
（3）已知，且,则___________.
（4）曲线的斜渐近线方程为_________
（5）微分方程的通解为_________
二、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）.
（1）下列积分结果正确的是（D）
（A）（B）
（C）（D）
（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（D）.
（A）都是极值点.
（B）都是拐点.
（C）是极值点.，是拐点.
（D）是拐点，是极值点.
图1-1
（3）函数满足的一个微分方程是（D）.
（A） （B）
（C） （D）
（4）设在处可导，则为（A）.
（A）.（B）.（C）0.（D）不存在.
（5）下列等式中正确的结果是（A）.
（A）（B）
（C）（D）
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1．求极限.
解=1分
=2分
=1分
=2分
2.方程确定为的函数，求与.
解（3分）
（6分）
3.4.计算不定积分.
4.计算定积分.
解（3分）
（6分）
（或令）
四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分）解微分方程.
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．
解：
建立坐标系如图
x
y
3.（本题8分）设在上有连续的导数，，且，
试求.
4.（本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.
（1）（3）
求D的面积A;
（2）（4）
求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.
（1）设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是
----1分
由该切线过原点知，从而所以该切线的方程为
----1分
平面图形D的面积
----2分
（2）切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为2分
曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为
，1分
因此所求旋转体的体积为
1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数，.
解法一：
解法二：
设则1分
因为1分
当时，单调增加，2分
所以对于任意的实数，即。
1分
解法三：
由微分中值定理得，
，其中位于0到x之间。
2分
当时，，。
2分
2分
所以对于任意的实数，。
1分
（四）
一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1．.
2．.
3．设函数由方程确定，则.
4.设可导，且，，则.
5．微分方程的通解为.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数，则函数在内零点的个数为（B）.
（A）3个;
（B）2个;
（C）1个;
（D）0个.
2．微分方程的特解形式为（C）
（A）；
（B）；
（C）；
（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
（A）（A）
若,则必有;
（B）（B）
若在上可积,则;
（C）（C）
若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;
（D）（D）
若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4.设,则是的（C）.
（A）连续点;
（B）可去间断点;
（C）跳跃间断点;
（D）无穷间断点.
三．计算题（每小题6分，5题共30分）：
1．计算定积分.
解：
-------2
-------2
--------2
2．计算不定积分.
--------3
-----------3
3．求摆线在处的切线的方程.
切点为-------2
-------2
切线方程为即.-------2
4.设，则.
5．设，求.
---------2
--------------2
=------------2
故=
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
设切点为，则过原点的切线方程为，
由于点在切线上，带入切线方程，解得切点为.-----3
过原点和点的切线方程为-----------------------------3
面积=-------------------3
或
2．设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.
解：
法一：
-------6
--------3
法二：
V=
------------------5
-------------4
3.设在内的驻点为问为何值时最小?
并求最小值.
解:
---------------3
------------3
-----2
故--------------1
五．证明题（7分）
设函数在上连续，在内可导且
试证明至少存在一点,使得
证明：
设，在上连续在可导，因,
有,---------------2
又由，知在上用零点定理，
根据，---------------2
可知在内至少存在一点，使得,
由ROLLE中值定理得至少存在一点使得即，证毕.--------------3
标准答案
一、1B;
2C;
3D;
4A.
二、1230;
40.
三、1解原式6分
2解2分
4分
3解原式3分
2分
1分
4解令则2分
1分
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