多元函数的极限与连续习题Word文件下载.doc

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（3）；

（4）。

3.求极限

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

4.试证明函数在其定义域上是连续的。

因为，不妨设，

有，

，要使不等式

成立

取，于是

，，：

且，有，即证。

，，

二重极限不存在。

或，。

可以证明所以。

当，时，极限不存在，

因此不存在，

同理不存在。

，

当P（x,y）沿着趋于（0,0）时有

，

所以不存在；

，。

（4）

∴，

，不存在。

又，

∴。

。

，

而

故。

令，，

时，，

证明：

显然f（x,y）的定义域是xy>

-1.

当时，f（x,y）是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。

以下分两种情况讨论。

（1）在原点（0,0）处

f（0,0）=0,当时

由于

不妨设，，

从而，取，当时，

于是，无论，当时，都有

（2）在处。

（

当时，

当x=0时,,

注意到，当时，

于是，无论，当时

即f（x,y）在在处连续，

综上，f（x,y）在其定义域上连续。