《一元二次方程》名师教案Word文件下载.docx

《一元二次方程》名师教案Word文件下载.docx

《《一元二次方程》名师教案Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《一元二次方程》名师教案Word文件下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

一次项系数为　b　.

预习自测

（1）方程

是否是一元二次方程？

【知识点】一元二次方程概念

【思路点拨】整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.

【解题过程】解：

此方程只含有一个未知数，未知数的次数为一次，所以不是一元二次方程.

【答案】否

（2）方程

【设计意图】复习设未知数列方程的步骤。

通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.

●活动②大胆猜想，探究新知

观察这两个方程，小组讨论，有何发现？

回答下列问题：

（1）上面方程整理后含有几个未知数？

学生回答：

1个未知数.

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

2次

（3）有等号吗？

还是与多项式一样只有式子？

是等式

【设计意图】让学生充分感受所列方程的特点,通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.

●活动③集思广益，归纳概念

老师问：

一元二次方程的概念是什么？

概念归纳：

1.一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式：

，其中ax2是二次项，a是二次项系数；

bx是一次项，b是一次项系数；

c是常数项．

【设计意图】概括归纳出一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式.

●活动④掌握一元二次方程的特点

提出问题：

（1）一元二次方程的一般形式有什么特点？

等号的左、右分别是什么？

（2）为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？

（3）一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？

为什么？

一元二次方程是整式方程，等号左边只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.等号右边为0.

若

则二次项不存在，所以要限制a≠0，b，c可以为0.

一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数不是1，应是-1.

老师总结：

一元二次方程特殊形式：

；

【设计意图】加深对概念的理解，从而达到真正理解定义的目的。

●活动⑤类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念

一元二次方程的根：

一元一次方程的根是什么？

使一元一次方程成立的未知数的值叫做一元一次方程的解（或根）.

一元二次方程的根的概念是什么？

使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.

【设计意图】

识记、理解相关概念.通过类比，迁移提高.

探究二利用一元二次方程的概念解决简单的问题.★▲

●活动①一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的应用

例1.判断下列方程是否为一元二次方程？

【知识点】一元二次方程的概念

【解题过程】

（1）不是方程；

（2）含有一个未知数并且未知数最高次数为2的整式方程；

（3）整理后二次项系数为0；

（4）不是整式方程；

（5）不是整式方程；

（6）二次项系数可能为0.

【思路点拨】一元二次方程的特点：

首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2

【答案】

（1）否

（2）是（3）否（4）否（5）否（6）否

【设计意图】通过练习，掌握一元二次方程的概念.

练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-

=0

A．1个B．2个C．3个D．4个

【知识点】一元二次方程的概念

【解题过程】①3x2+7=0是

②ax2+bx+c=0二次项系数可能为0，所以不是一元二次方程

③（x-2）（x+5）=x2-1整理后二次项系数为0，所以不是一元二次方程

④3x2-

=0不是整式方程，所以不是一元二次方程

【思路点拨】判断一个方程是否是一元二次方程的依据：

（1）整式方程；

（2）只含有一个未知数；

（3）含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．

【答案】A

例2．下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？

-4，-3，-2，0．

【知识点】一元二次方程的根

【解题过程】将x=-4代入原方程，

，不是

将x=-3代入原方程，

，是

将x=-2代入原方程，

将x=0代入原方程，

【思路点拨】判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．

【答案】-3，-2

练习2.

已知关于x的一元二次方程

的一个根是x=0，则a的值为_________

【解题过程】把x=0代入原方程得，

【思路点拨】把所给方程的根代入原方程，再解方程求出所含字母的值

【答案】-1

【设计意图】通过练习，掌握一元二次方程的根的概念.

●活动2一元二次方程的一般形式的应用

例3.判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）3x（x+2）=4（x-1）+7

（2）（2x+3）2=（x+1）（4x-1）

【知识点】一元二次方程的一般形式.

（1）原方程整理得：

，二次项系数为3、一次项系数为2，常数项为-3.

（2）原方程整理得：

9x+10=0，因此它不是一元二次方程.

【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一般形式确定它的二次项系数、一次项系数和常数项.

【答案】

（1）是一元二次方程；

3；

2；

-3

（2）不是一元二次方程.

练习3.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、常数项：

方程

一般形式

二次项系数

常数项

3x2=5x-1

（x+2）（x-1）=6

将3x2=5x-1化为一般形式

，二次项系数为3、常数项为1.

将（x+2）（x-1）=6化为一般形式

，二次项系数为1、常数项为-8.

【思路点拨】将方程化成一般形式，再确定二次项系数和常数项.

（1）

3；

1

（2）

1；

-8

【设计意图】理解一元二次方程的一般形式，及其二次项和二次项系数、一次项和一次项系数、常数项.

例4.若关于x的方程

是一元二次方程，求m的取值范围.

【解题过程】原方程整理得

，因其是一元二次方程，

∴m-2

0,

∴m

2.

【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.

【答案】m

2

练习4.若关于x的方程

是一元二次方程，求m的值.

是关于x的一元二次方程

【思路点拨】一元二次方程的一般形式为

.

【设计意图】加强对一元二次方程的概念的理解，不能忽略a

0这一隐含条件.

●活动3综合应用

例5.已知关于x的方程

（1）k为何值时，此方程为一元二次方程？

并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.

（2）k为何值时，此方程为一元一次方程?

【知识点】一元二次方程和一元一次方程的概念.

是一元二次方程

该方程的二次项系数为

、一次项系数为k+1、常数项为-2.

是一元一次方程

【思路点拨】根据一元二次方程和一元一次方程的概念分别列不等式（组）求解.

（1）k

1，

，k+1，-2；

（2）k=1

练习5.已知关于x的方程

当_____________时，是一元二次方程

当_____________时，是一元一次方程

【知识点】一元二次方程和一元一次方程的概念

【设计意图】加强对一元二次方程和一元一次方程概念的理解

例6.已知方程x2+bx+a=0有一根为-a，（a≠0）则下列代数式的值恒为常数的是（）

A.abB.

C.a+bD.a-b

【知识点】一元二次方程的根的概念

有一根为

【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值，所以将根代入原方程.

【答案】D

练习6．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

（1）满足a+b+c=0时，有根x=_________.

（2）满足a-b+c=0时，有根x=_________.

（3）满足c=0时，有根x=_________.

（1）当

时，一元二次方程ax2+bx+c=0可化为

，因此满足a+b+c=0时，有根x=1.

（2）当

，因此满足a-b+c=0时，有根x=-1.

（3）当

，因此满足c=0时，有根x=0.

【思路点拨】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知数的值，所以将根带回原方程.

（3）

【设计意图】加强对一元二次方程的根的概念的理解和应用.

2.课堂总结

知识梳理

c是常数项.

3.一元二次方程的根：

重难点归纳

1.一元二次方程的二次项系数不能为0，其一般形式为：

2.一元二次方程特殊形式有：

3.判断一个方程是否是一元二次方程的依据：

4.只有一元方程的“解”可以说成“根”.

5.判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．

6.一元二次方程ax2+bx+c=0（a

0），当a+b+c=0时，有根x=1；

当a-b+c=0时，有根x=-1；

当c=0时，有根x=0.

（三）课后作业 

基础型自主突破

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．ax2+bx+c=0B．x2+2x=x2﹣1C．3（x+1）2=2（x+1）D．

﹣2=0

【解题过程】A.可能

，不是一元