湖北省春荆荆襄宜四地七校考试联盟高二期中联考理科数学试题 含答案.docx
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湖北省春荆荆襄宜四地七校考试联盟高二期中联考理科数学试题含答案
保密★启用前
2019年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高二期中联考
数学（理）试题
本试题卷共2页，共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时请按要求用笔．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．命题“若，则”的逆否命题为（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩近似地服从正态分布，估算这些考生中数学成绩落在内的人数为（）
（附：
，则）
A．4560B．13590C．27180D．311740
3．对任意的实数，若表示不超过的最大整数，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．展开式中含的项是（）
A．第8项B．第9项 C．第10项 D．第11项
5．CPI是居民消费价格指数（consumerpriceindex）的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月—7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．（注：
2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比）根据该折线图，则下列结论错误的是（）
A．2018年1月—7月CPI有涨有跌
B．2018年2月—7月CPI涨跌波动不大,变化比较平稳
C．2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大
D．2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌
6．已知双曲线的离心率为，则它的渐近线为（）
A． B．
C． D．
7．为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为，若圆环的半径为1，则比值的近似值为（）
A．B．C．D．
8．假设有两个分类变量和的列联表如下：
总计
总计
注：
的观测值.
对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（）
A．B．C．D．
9．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．已知点在抛物线，过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则三角形的面积（）
A．B．C．D．
11．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（）
A．B．C．D．
12．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，对于所得截口曲线给出如下命题：
①曲线形状为椭圆；
②点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；
③该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为；
④该曲线的离心率为．
其中正确命题的序号为（）
A．①②④B．①②③④C．①②③D．①④
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．总体由编号为的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为___________．
78166572080263140702436997280198
32049234493582003623486969387481
14．已知向量，，则在方向上的投影为________．
15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则的值为___________．
16．在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________．
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知命题:
实数使得二项分布～满足成立；命题：
实数使得方程表示焦点在轴上的椭圆．若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为3，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列中，，前项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前项和.
20．（本小题满分12分）
某农科所发现，一种作物的年收获量（单位：
）与它“相近”作物的株数具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近作物的株数为时，该作物的年收获量的相关数据如下：
（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量可能和它“相近”作物的株数有以下两种回归方程：
，利用统计知识，结合相关系数比较使用哪种回归方程更合适；
（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：
年收获量以（Ⅰ）中选择的回归方程计算所得数据为依据）
参考公式：
线性回归方程为，其中，，
相关系数；
参考数值：
，，，其中.
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面底面，且在底面正投影点在线段上，，.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若，与所成角的余弦值为，求钝二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点.
（Ⅰ）若的斜率为，为的中点，且的斜率为，求椭圆的方程；
（Ⅱ）连结并延长，交椭圆于点，若椭圆的长半轴长是大于的给定常数，求的面积的最大值．
高二联考数学试题（理科）
参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
B
D
D
C
A
A
C
D
A
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.对于命题：
由知，且，得.……2分
对于命题：
由得.……4分
为假命题，为真命题，则一真一假，……5分
若真假，则且，得.……7分
若真假，则且，得.……9分
综上可知，满足条件的实数的取值范围是.……10分
18.（Ⅰ）由及正弦定理得，
∴，又由，即，得，
由解得；……6分（Ⅱ）由，得，，
又∵，∴，由正弦定理得，
又∵，，∴，故.……12分
19．（Ⅰ）由题意得，解得，
所以．……6分
（Ⅱ），……8分
则==……12分
20.（Ⅰ）（60+55+53+46+45+41）………1分
………3分
，………5分
知，回归方程更合适，
（Ⅱ）由（Ⅰ），则
故所求的线性回归方程为………7分
结合图形可知当时，与之相对应………8分
，……10分
∴它的年收获量的分布列为
∴（）………12分
21.（Ⅰ）如图，连接交于∵，平分∴.………2分
∵平面底面，平面底面,
∴平面∵平面∴.………4分
（Ⅱ）作于，则底面∴………5分
以为坐标原点，的方向分别为轴
的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，而则
又故，，
，………6分
设由得①
而
由得②
由①②可知及投影位置可知∴………8分
∴，，
设平面的法向量为
由即取得………10分
同理可得的一个法向量为………11分
∴
故钝二面角的余弦值为………12分
22.（Ⅰ）设，则
，，.
由此可得；………2分
因为，，，所以………3分
又由左焦点为，故，因此.所以的方程为………5分
（Ⅱ）因为椭圆的半焦距，所以，设，直线的方程为，
由方程组消去得:
且恒成立，………7分
连结，由知，
，………9分
令，则，
①若，即，则，当且仅当，
即时，；………10分
②若，即，设，则时，
在上单调递增，所以，当且仅当，
即时，；
综上可知：
………12分
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