ppt第十二章用MATLAB解最优控制问题及应用实例PPT文档格式.ppt
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,2,系统模型的转换把其他形式转换成状态方程模型G1=ss（G）把其他形式转换成零极点模型G1=zpk（G）把其他形式转换成一般传递函数模型G1=tf（G）,3,系统稳定性判据求出系统所有的极点，并观察系统是否有实部大于0的极点。
系统由传递函数（num,den）描述roots（den）系统由状态方程（A,B,C,D）描述eig（A）,4,系统的可控性与可观测性分析在MATLAB的控制系统工具箱中提供了ctrbf（）函数。
该函数可以求出系统的可控阶梯变换，该函数的调用格式为：
Ac,Bc,Cc,Dc,Tc,Kc=ctrbf（A,B,C）在MATLAB的控制系统工具箱中提供了obsvf（）函数。
该函数可以求出系统的可观测阶梯变换，该函数的调用格式为：
Ao,Bo,Co,Do,To,Ko=obsvf（A,B,C）,5,系统的时域分析对于系统的阶跃响应，控制系统工具箱中给出了一个函数step（）来直接求取系统的阶跃响应，该函数的可以有如下格式来调用：
y=step（G,t）对于系统的脉冲响应，控制系统工具箱中给出了一个函数impulse（）来直接求取系统的脉冲响应，该函数的可以有如下格式来调用：
y=impulse（G,t）,6,系统的复域与频域分析对于根轨迹的绘制，控制系统工具箱中给出了一个函数rlocus（）函数来绘制系统的根轨迹，该函数的可以由如下格式来调用：
R=rlocus（G,k）,对于Nyquist曲线的绘制，控制系统工具箱中给出了一个函数nyquist（）函数，该环数可以用来直接求解Nyquist阵列，绘制出Nyquist曲线，该函数的可以由如下格式来调用：
rx,ry=nyquist（G,w）对于Bode图，MATLAB控制工具箱中提供了bode（）函数来求取、绘制系统的Bode图，该函数可以由下面的格式来调用mag,pha=bode（G,w）,12.2用MATLAB解线性二次型最优控制问题,一般情况的线性二次问题可表示如下：
设线性时变系统的方程为其中，为维状态向量，为维控制向量，为维输出向量。
寻找最优控制，使下面的性能指标最小,其中，是对称半正定常数阵，是对称半正定阵,是对称正定阵。
我们用最小值原理求解上述问题，可以把上述问题归结为求解如下黎卡提（Riccati）矩阵微分方程：
这个方程称为代数黎卡提方程。
代数黎卡提方程的求解非常简单，并且其求解只涉及到矩阵运算，所以非常适合使用MATLAB来求解。
方法一：
求解代数黎卡提方程的算法有很多，下面我们介绍一种简单的迭代算法来解该方程，令，则可以写出下面的迭代公式,%*MATLAB程序*%I=eye（size（A）;
iA=inv（I-A）;
E=iA*（I+A）;
G=2*iA2*B;
H=R+B*iA*Q*iA*B;
W=Q*iA*B;
P0=zeros（size（A）;
i=0;
while
（1）,i=i+1;
P=E*P0*E-（E*P0*G+W）*inv（G*P0*G+H）*（E*P0*G+W）+Q;
if（norm（P-P0）eps）,break;
else,P0=P;
endendP=2*iA*P*iA;
我们把这个文件命名为mylq.m，方便我们以后调用来求解代数黎卡提方程。
方法二：
在MATLAB的控制系统工具箱中提供了求解代数黎卡提方程的函数lqr（），其调用的格式为：
K,P,E=lqr（A,B,Q,R）式中输入矩阵为A,B,Q,R，其中（A,B）为给定的对象状态方程模型，（Q,R）分别为加权矩阵Q和R；
返回矩阵K为状态反馈矩阵，P为代数黎卡提方程的解，E为闭环系统的零极点。
这里的求解是建立在MATLAB的控制系统工具箱中给出的一个基于Schur变换的黎卡提方程求解函数are（）基础上的，该函数的调用格式为：
X=are（M,T,V）,其中，矩阵满足下列代数黎卡提方程，are是AlgebraicRiccatiEquation的缩写。
对比前面给出的黎卡提方程，可以容易得出,方法三：
我们也可以采用care（）函数对连续时间代数黎卡提方程求解，其调用方法如下：
P,E,K,RR=care（A,B,Q,R,zeros（size（B）,eye（size（A）式中输入矩阵为A,B,Q,R，其中（A,B）为给定的对象状态方程模型，（Q,R）分别为加权矩阵Q和R；
返回矩阵P为代数黎卡提方程的解，E为闭环系统的零极点，K为状态反馈矩阵，RR是相应的留数矩阵Res的Frobenius范数（其值为：
sqrt（sum（diag（Res*Res），或者用Norm（Res,fro）计算）。
采用care函数的优点在于可以设置P的终值条件，例如我们可以在下面的程序中设置P的终值条件为0.2;
0.2。
P,E,K,RR=care（A,B,Q,R,0.2;
0.2,eye（size（A）采用lqr（）函数不能设置代数黎卡提方程的边界条件。
例12-1,线性系统为：
，其目标函数是：
确定最优控制。
解：
方法一：
A=01;
-5,-3;
B=0;
1;
Q=500200;
200100;
R=1.6667;
mylqK=inv（R）*B*PPE,运行结果：
K=13.02766.7496P=67.940621.713121.713111.2495E=-0.11110.2222-1.1111-0.7778,方法二:
K,P,E=lqr（A,B,Q,R）,运行结果：
K=13.02766.7496P=67.940621.713121.713111.2495E=-7.2698-2.4798,方法三：
P,E,K,RR=care（A,B,Q,R,zeros（size（B）,eye（size（A）,运行结果：
P=67.940621.713121.713111.2495E=-7.2698-2.4798K=13.02766.7496RR=2.8458e-015,以上的三种方法的运行结果相同。
我们可以得到，最优控制变量与状态变量之间的关系：
在以上程序的基础上，可以得到在最优控制的作用下的最优控制曲线与最优状态曲线，其程序如下：
%*MATLAB程序*%figure（pos,50,50,200,150,color,w）;
axes（pos,0.15,0.14,0.72,0.72）ap=A-B*K;
bp=B;
C=1,0;
D=0;
ap,bp,cp,dp=augstate（ap,bp,C,D）;
cp=cp;
-K;
dp=dp;
0;
G=ss（ap,bp,cp,dp）;
y,t,x=step（G）;
plotyy（t,y（:
2:
3）,t,y（:
4）ax,h1,h2=plotyy（t,y（:
4）;
axis（ax
（1）,02.500.1）,axis（ax
（2）,02.5-10）,运行结果：
图12-1最优控制曲线与最优状态曲线,该程序采用augstate函数将状态变量作为输出变量，用于显示；
输出项作为最优控制的输出。
因此，阶跃响应输出y中，y
（1）是系统输出，y
（2）和y（3）是状态变量输出，y（4）是系统控制变量输出。
用plotyy函数进行双坐标显示，并设置相应的坐标范围。
以上三种方法中，第一种方法易于理解黎卡提方程的解法，其解法简单但是并不可靠。
第二种方法比起另两种方法使用方便，不易出错，所以我们推荐使用这种方法。
但是采用lqr（）函数不能设置代数黎卡提方程的边界条件，所以，如果题目设置了P的终值条件，我们只能使用第三种方法来求解，例如设置P的终值条件为0.2;
程序如下：
%*MATLAB程序*%A=01;
0.2,eye（size（A）,运行结果：
P=67.723321.568521.568511.0961E=-7.3052-2.4723K=13.06086.7775RR=1.2847e-014最优控制变量与状态变量之间的关系：
例12-2,无人飞行器的最优高度控制，飞行器的控制方程如下,是飞行器的高度；
是油门输入；
设计控制律使得如下指标最小,初始状态。
绘制系统状态与控制输入，对如下给定的矩阵进行仿真分析.,a）.b）.c）.d）.,解：
线性二次型最优控制指标如下：
其中Q和R分别是对状态变量和控制量的加权矩阵，线性二次型最优控制器设计如下：
1）、Q=diag（1，0，0），R=2时，由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k1=0.70712.07722.0510，u（t）=k1*x（t）；
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-2所示：
图12-2状态响应曲线及控制输入响应曲线,2）、Q=diag（1，0，0），R=2000时，由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k2=0.02240.25170.4166，u（t）=k2*x（t）；
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-3所示：
图12-3状态响应曲线及控制输入响应曲线,3）、Q=diag（10，0，0），R=2时，由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k3=2.23614.38923.3077，u（t）=k3*x（t）；
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-4所示：
图12-4状态响应曲线及控制输入响应曲线,4）、Q=diag（1，100，0），R=2时，由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为k4=0.70717.61124.6076，u（t）=k4*x（t）；
所画状态响应曲线及控制输入响应曲线如下图12-5所示：
图12-5状态响应曲线及控制输入响应曲线,由1），2），3），4）可分析如下：
图12-3与图12-2相比，当Q不变，R增大时，各相应曲线达到稳态所需时间增长，即响应变慢；
但波动幅值变小，反馈矩阵变小；
图12-4与图12-2和图12-3相比，当Q对角线上第1个元素增大时，各相应曲线达到稳态所需时间变短，即响应快；
但波动幅值变大，反馈矩阵增大；
由图12-5可知，当Q对角线上第2个元素增大时，状态x1，x2曲线达到稳态所需时间较长，即响应较慢，平缓的趋于零；
状态
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