勾股定理经典例题详解Word格式文档下载.docx

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图

（2）中

方法三：

相同的正方形

将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状

a

在（3）—1中，甲的面积二（大正方形面积）一（4个直角三角形面积），在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积），

所以，甲的面积二乙和丙的面积和，即:

宀盼亠护.

方法四：

如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

2.在理解的基础上熟悉下列勾股数

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：

①3、4、5②5、12、13;

③8、15、17;

④7、24、25:

⑤10、24、26;

⑥9、40、41.

如果（a,b,c）是勾股数，当t>

0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直

角三角形。

经典例题透析类型一：

勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，/C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b，

（2）已知a=40，b=9,求c;

（3）已知c=25，b=15,求

a.

思路点拨:

写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：

（1）在厶ABC中，/C=90°

，a=6，c=10,b=「-一"

（2）在厶ABC中，/C=90°

，a=40，b=9,c='

'

'

（3）在厶ABC中，/C=90°

，c=25，b=15,a=^3=2Q

总结升华：

有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。

如：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。

举一反三

【变式】:

如图/B=ZACI=90°

AD=13,CB12,少？

【答案】：

/ACD90°

AD=13,CD=12

•••AC二aD—CD

=132-122=25

AC=5

又•••/ABC=90且BC=3

•••由勾股定理可得

aB二aC—bC

=52-32

=16

/•AB=4

•••AB的长是4.

类型二：

勾股定理的构造应用

2、如图，已知：

在口恋中,厶=6呼，=,朋=30.求：

BC的长.

」■'

_?

?

于D,

思路点拨：

由条件-三一二'

一，想到构造含[厂角的直角三角形，为此作则有

BD=-AB=15

ZBAD2，再由勾股定理计算出ADDC的长，进而

求出BC的长.

作灵口丄衣匕于D,则因乂衣=乩旧，.•.4皿二网-妙二30。

忤的两个锐角互余）

BD二丄AB=15

.-（在中，如果一个锐角等于3广，

那么它所对的直角边等于斜边的一半）根据勾股定理，在’中，俎―仙-加=3-15*=15、^.

根据勾股定理，在中，CD=^ACi-ADl=^-]5i^3=65.

.•.启0二月口+卫匚二H+吧二賀

利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用•当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理

举一反三【变式1】如图，已知：

my，，倨丄血于p求证:

.

B

cX4

图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形•因此，我

们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM这样，实际上就得到了4个直角

三角形•那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系解析：

连结BM，根据勾股定理，在刃止戏MP中，

而在五二打拓中，则根据勾股定理有

.•.二——…-.：

-■——：

「.丨工I

又（已知），

护二皎—以+£

沪

在三丄二m中，根据勾股定理有

.护=肘+能

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长ABDC交于F,或

延长ADBC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

延长ADBC交于E。

•••/A二/60°

，/B=90°

，.ZE=30°

o

.AE=2AB=8CE=2CD=，

.BE二AE-AB2=82-42=48,BE=；

二'

。

•••DE二CE2-CD2=42-22=12,.DE=I=八

[丄

S四边形ABC=S°

ABE-S△CDE=JAB*BE-CD-DE=

类型三：

勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°

方向走了

-'

」：

二到达B点，然后再沿北偏西30。

方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

（3）

解答本题的思路是：

最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.

设正方形的边长为1,则图

（1）、图

（2）中的总线路长分别为

AB+BC+C=3,AB+BC+CB3

图（3）中，在Rt△ABC中

AC=aSF+Tc7=忑

同理亠？

•••图（3）中的路线长为■-i：

:

亠二

图（4）中，延长EF交BC于H,贝VFH丄BCB十CH

3九加=-

由/FB*L及勾股定理得：

EgED=F吐FO匚；

[

逅

•••EF=1-2FH=1--

•••此图中总线路的长为4EA+EB:

--:

-

V3>

>

•••图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.

在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计•本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质.

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AE为4cm,EC是上底面的直径.只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

解:

如图，在Rt△ABC中，EC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得

（提问：

勾股定理）

•••AC=丁・二.~10.77（cm）（勾股定理）.

答：

最短路程约为10.77cm.

类型四：

利用勾股定理作长为“斤的线段

5、作长为丿、十;

、宀的线段。

由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于■/，直角边为叮和1的直角三角形斜边长就是小，类似地可作■广。

作法：

如图所示

ACB使AB为斜边；

1的直角。

斜边为：

亠；

这样斜边、宀'

一、"

】、「：

的

门、宀、/1、十。

（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；

（2）取单位长时可自定。

般习惯用国际标准的单位，女口1cm1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。

举一反三【变式】在数轴上表示丿的点。

可以把J•看作是直角三角形的斜边，JI，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

如图所示在数轴上找到A点，使0A=3作AC±

0A且截取AC=1,以0C为半径，以0为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为折。

类型五：

逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1.原命题：

猫有四只脚.（正确）

2.原命题：

对顶角相等（正确）

3.原命题：

线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）

4.原命题：

角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：

掌握原命题与逆命题的关系。

1.逆命题：

有四只脚的是猫（不正确）

2.逆命题：

相等的角是对顶角（不正确）

3.逆命题：

到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？

（正确）

4.逆命题：

到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：

本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

7、如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状。

思路点拨：

要判断厶ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。

222

由a+b+c+50=6a+8b+10c,得：

a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0,

二（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。

•••（a-3）2>

0,（b-4）2>

0,（c-5）2>

0。

•••a=3，b=4，c=5。

•••32+42=52,

・2.22…a+b=c。

由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形。

勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常

要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中,ZB=90°

，AB=3,BC=4CD=12AD=13求四边形ABCD勺面积。

连结AC

•••ZB=90°

AB=3BC=4

•••AC二aB+bC=25（勾股定理）

•••AC=5

•••AC+CD=169,aD=169

•••aC+cD二aD

•••/ACD=90（勾股定理逆定理）

"

四述心£

0£

）=

【变式2】已知:

△ABC勺三边分别为mi-n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且n）,判断△

ABC是否为直角三角形.

分析:

本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:

a2+b2=c2即可

证明."

-|:

.■■■■■-1•:

叮1-丨■・」

二加*十沪十/

=（ff?

+«

a）a

所以△ABC是直角三角形.

丄【变式3】如图正方形ABCDE为BC中点，F为AB上一点，且BF匸AB请问FE与DE是否垂直请说明。

【答案】答：

DEXEF。

证明：

设BF=a,贝VBE=EC=2a,AF=3aAB=4a,

•EF2二BF+BE二a2+4a2=5a2;

2—2—2222

DE=CE+CD=4a+16a=20a。

连接DF（如图）

DF二AF+AD=9a2+16a2=25a2。

•df2二eF+dE,

•FE丄DE

经典例题精析

类型一：

勾股定理及其逆定理的基本用法圈

1、若直角三角形两直角边的比是3:

4,斜边长是20，求此直角三角形的