二元函数的极值与最值Word文档下载推荐.doc
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当且A<
0时,f为极大值;
当且A>
0,f为极小值;
时,不是极值点。
注意:
当B2-AC=0时,函数z=f(x,y)在点可能有极值,也可能没有极值,需另行讨论
例1求函数z=x3+y2-2xy的极值.
【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值.
【解】先求函数的一、二阶偏导数:
,.,,.
再求函数的驻点.令=0,=0,得方程组
求得驻点(0,0)、.
利用定理2对驻点进行讨论:
(1)对驻点(0,0),由于A=0,B=-2,C=2,B2-AC0,故(0,0)不是函数z=f(x,y)的极值点.
(2)对驻点,由于A=4,B=-2,C=2,B2-AC=-40,且A0,则
为函数的一个极小值.
例2:
(2004数学一)设z=z(x,y)是由确定的函数,求的极值点和极值.
【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合,计算量是比较大的。
这体现了考研的基本要求。
【解】因为,所以
,
.
令得
故
将上式代入,可得
或
由于,
,
所以,,,
故,又,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点,极小值为z(9,3)=3.
类似地,由
,,,
可知,又,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点,极大值为
z(-9,-3)=-3.
【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。
2.二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法:
设某领域内有连续偏导数,引入辅助函数
解联立方程组
得可能是在条件下的极值点
例3经过点的所有平面中,哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小.并求此最小体积.
【分析】条件极值经常考应用题。
这一点大家应引起重视。
【解】设所求平面方程为
.
因为平面过点,所以该点坐标满足此平面方程,即有
.
(1)
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V,则
.
(2)
原问题化为求目标函数
(2)在约束条件
(1)下的最小值.作拉格朗日函数
.
求函数L的各个偏导数,并令它们为0,得方程组:
由此方程组和(9)解得a=b=c=3.
由于最小体积一定存在.又函数有惟一的驻点.故a=b=c=3为所求.即平面
x+y+z=3.
与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小.最小体积为
例4某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告,收入万元与电视广告费万元及报纸广告费万元之间的关系为:
⑴在广告费用不限的情况下,求最佳广告策略;
⑵若提供的广告费用为总额1.5万元,求相应最佳广告策略.
【解】⑴利润函数为
,
解得,.则为惟一的驻点.
又由题意,可导且一定存在最大值,故最大值必在这惟一的驻点处达到.所以最大利润为万元.
因此,当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时,最大利润为万元,此即为最佳广告策略.
⑵求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略,即为在约束条件下,求的最大值.作拉格朗日函数
求函数的各个偏导数,并令它们为0,得方程组:
并和条件联立解得,.这是惟一的驻点,又由题意,一定存在最大值,故万元为最大值.
【评注】本题也可由,解得,代入目标函数转换成一元函数求解。
3.二元函数的最值
二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。
例5:
(2007数学一)求函数在区域D上的最大值和最小值,其中:
。
【分析】由于D为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】因为,,解方程:
得开区域内的可能极值点为.
其对应函数值为
又当y=0时,在上的最大值为4,最小值为0.
当,构造拉格朗日函数
解方程组得可能极值点:
,其对应函数值为
比较函数值,知f(x,y)在区域D上的最大值为8,最小值为0.
【评注】当,代入目标函数转换成一元函数求解更简单。
例3:
(2005数学二)已知函数z=f(x,y)的全微分,并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.
【解】由题设,知,,
于是,且,从而,
再由f(1,1)=2,得C=2,故
(下略)