类比思想在中学数学中的应用.doc
《类比思想在中学数学中的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《类比思想在中学数学中的应用.doc（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学专业毕业论文
类比思想在中学数学中的应用
类比思想在中学数学中的应用
前言
大数学家拉普拉斯曾经说过：
“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。
”所谓类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。
类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法．利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。
中学数学中的概念，公式，性质以及在解题中类比思想无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。
由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。
这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。
除此之外，类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。
因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。
伟大的德国古典哲学家康德也曾经说过：
每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识掌握新知识；而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。
古语云：
授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷。
学知识，更要学方法。
类比思想是富于创造性的一种方法,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学学数学中有着广泛的应用。
下面我将分四部分：
第一部分总结了类比思想在数学概念中体现；第二部分归纳了类比思想在数学公式中体现；第三部分阐述了类比思想在数学性质中体现；第四部分结合例题分析了类比思想在数学解题中体现。
接下来将具体论述这四个部分。
一、类比思想在中学数学概念中的体现
数学教育家波利亚说：
“类比就是一种相似。
”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。
（一）类比思想在中学几何概念中的体现
数学中的许多概念之间有类似的地方,在新概念的提出、新知识的讲授过程中,运用类比方法,一方面可以让学生更好地理解新概念的内涵与外延,使学生更容易接受新知识,其次也有利于掌握新旧知识间的区别和联系,有利于知识的迁移,更为重要的是可以让学生体会和学习类比思想方法,培养学生的创新能力。
众所周知，平面几何的基本构成元素是点和直线，而立体几何的基本构成元素是点、直线和平面。
通过建立如下对应关系：
平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。
1.平面几何与立体几何在概念上的类比如：
（1）平面角是由一个交点与两条直线组成；
二面角是由一条直线与两个平面组成。
（2）平面上，到直线的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的两条直线；
空间中，到直线的距离相等的点的集合是直的圆形曲面；
空间中，到平面的距离相等的点的集合是与平面平行的两个平面。
（3）平面上，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆；空间中，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆面；
平面上，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲线；空间中，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲面；
在平面，到定直线与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一条抛物线；空间中，到定平面与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一个抛物线面。
（二）类比思想在中学数列概念中的体现
1.数列中的等差和等比的概念也是类比关系:
（1）等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差；
（2）等比数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个（非零）常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
二、类比思想在中学公式中的体现
在数学教学中，我们还看到，存在着并列关系的两个数学对象，它们之间无论是教学内容和教材处理都很相似，如等差数列和等比数列在内容上是完全平行的，包括定义性质通项公式等，两个数的等差（等比）中项两种数列在函数角度下的解释等，因此在等比数列的教学中，采用类比的方法，对等差数列的概念公式和性质进行探索，归纳，类比，促进学生主动获得等比数列的知识它们的性质，重要结论有许多可类比的地方。
（一）类比思想在中学几何公式中的体现
1.面积公式的类比：
三角形面积公式：
，
三棱锥体积公式：
；
梯形的面积公式：
；
棱台的体积公式：
；
2.平面内的一般三角形与空间中的四面体公式类比：
三角形
四面体
在ΔABC中，的平分线交BC于D，则．
在四面体A-BCD中，二面角C-AB-D的平分面交棱CD于点E，则，．
设ΔABC的三边长分别为、、，ΔABC的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为，则
（1）；
（2）．
设四面体A-BCD的四个侧面的面积分别为，，，，内切球的半径为，外接球的半径为，则
（1）；
（2）．
在ΔABC中，
（正弦定理）．
在四面体A-BCD中，棱AB与面ACD、BCD的夹角分别，，则．
在ΔABC中，
（射影定理）
其中分别为角的对边．
在四面体A-BCD中，四个侧面的面积分别为，，，，则
其中分别为面与面所成二面角的大小．
在ΔABC中，
（余弦定理）．
在四面体A-BCD中，
其中分别为面与面，面与面，面与面所成的二面角．
设是ΔABC内任意一点，连结并延长交对边于点则
设是四面体A-BCD内任意一点，连结并延长交对面于点,则
3.平面几何与立体几何的类比：
B
A
C
a
c
b
立体几何与平面几何是前后衔接的两门相近科学，不少相关定理既有联系又有区别，立体几何的某些定理又可以溯源于平面几何中的某些定理因此立体几何的教学中可以由平面几何的知识类比引入的例子很多例如：
B
A
C
P
图1
（1）平面上，在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c则。
如图：
；（如图1）
图2
空间中，四面体,面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、，三个面与底面所成的二面角分别为、、则有。
（如图2）
B
A
C
P
D
E
F
H
（2）平面上，在直角中,角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，边c上的高为h，则有；，
B
A
C
P
图3
空间中，四面体、、，、、，点H为点P在面ABC内的射影，则有。
（如图3）
图4
O
A
r
C
B
（3）平面上，在直角中,角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有；
图5
空间中，四面体，、、，面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、，则有。
（如图4）
B
A
C
P
O
r
（4）平面上，在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的内心为点O，内切圆的半径为r，的面积为S,则有；（如图5）
P
A
C
B
D
N
M
E
F
L
图6
空间中，四面体,面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、，体积为V，其内切求的半径为r，球心为O，则有。
（如图6）
图7
图8
P
B
A
D
C
N
M
（5）平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，则有；（如图7）
空间中，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，点E、F为射线PL上的两点，则有。
（如图8）
（6）平面内的正三角形与空间中的正四面体公式类比：
正三角形的高周长面积
正四面体的高表面积体积
正三角形内任意一点到三边的距离和为定值即正三角形的高。
正四面体内任意一点到四个面的距离和为定值即正四面体的高。
正三角形的内切圆与外接圆的圆心重合即正三角形的中心，半径比为１：
２，内切圆切于三边的中点。
正四面体的内切球与外接球的球心重合即正四面体的中心，半径比为１：
３，内切球切于四个面的中心。
正三角形的三边的中点的连线仍构成正三角形，边长为。
正四面体的四个面的中心的连线仍构成正四面体，棱长为。
（二）类比思想在中学数列公式中的体现
1.等差数列有关公式：
等差数列通式：
其中为首项，为第n项的通项公式，d为公差
等差数列前n项和公式为：
2.等比数列有关公式：
等比数列的通项公式是：
等比数列前n项之和公式为：
（1）当q≠1时，
（2）当q=1时，
其中首项与公比q都不为零。
三、类比思想在中学数学性质中的体现
（一）类比思想在中学几何性质中的体现
1.在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比：
（1）三角形存在唯一的外接圆和内切圆，
三棱锥存在唯一的外接球和内切球；
（2）三角形的三条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为，
三棱锥的四条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为；
（3）三角形的三条角平分线交于一点，这个点是三角形内切圆的圆心，
三棱锥的六个二面角的平分面相交于一点，这个点是三棱锥内切球的球心。
（4）在直线上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中点；
在平面上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂线；
在空间中，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂面。
（5）在直线上，到定点的距离相等的点的集合是等距的两点；
在平面上，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的圆；
在空间中，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的球面。
（6）平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比：
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边.
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心.
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心．
三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半.
四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的,且该三角形所在平面平行于第四个面.
三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分.
四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分．
三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：
1.
将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：
1
（7）平面内的正三角形与空间中的正四面体性质类比：
正三角形（边长为）
正四面体（棱长为）
正三角形的三边相等．
正四面体的四个
升级会员 