Cauchy收敛准则的应用与推广(定稿)Word格式文档下载.doc

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2011年2月20日

摘要

本文主要论述了数列的Cauchy收敛准则，函数极限存在的Cauchy准则，级数收敛的Cauchy准则，函数列一致收敛的Cauchy准则，函数项级数一致收敛的Cauchy准则，含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则以及Cauchy收敛准则在证明数列,求函数极限,证明定理中起到的重要的作用.其次把一元函数中的Cauchy收敛准则、迫敛性及两个重要极限进行推广以此得到二元函数的相应定理及其应用。

关键词：

Cauchy准则一致收敛一致连续定理级数收敛

Abstract

ThisarticleismainlyaboutCauchyconvergencecriteriaofSequences,Cauchycriteriaoffunctionlimitexistence,Cauchycriteriaofseriesconvergence,

CauchycriteriaofuniformconvergenceoffunctionseriesandtheroleofCauchy

inprovingnumberseries,findingfunctionlimitandprovingrelatedtheories.Secondly,

promotingtheCauchyconvergencecriteria，forcedconvergencepropertyandthetwo

importantlimitsofunaryfunctionintotherelatedtheoriesandapplicationofbinaryfunction.

Keywords:

CauchycriteriaUniformconvergenceUniformlycontinuoustheoremSeriesconverges

目录

1.引言………………………………………………………………………………4

2.基本知识.................................………………………………………………4

3数列的Cauchy收敛准则及应用………………………………………...5

3.1数列的Cauchy收敛准则…………………………………………………..5

3.2数列的Cauchy收敛准则在解题中的应用……….......................................6

4函数极限的Cauchy收敛准则及应用………………………………….7

4.1函数极限的Cauchy准则……………………………………………….….7

4.2函数极限的Cauchy准则的应用…………………………………………..8

5Cauchy收敛准则在证明级数收敛中的作用…………………………..9

5.1级数收敛的Cauchy准则……………………………………………….….9

5.2级数收敛的Cauchy准则的应用……………………………………….….9

5.3函数列一致收敛的Cauchy准则…………………………………………10

6含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则..................................12

7Cauchy收敛准则在证明相关定理中的应用…………………………...14

7.1Cauchy收敛准则在证明牛顿—莱布尼茨公式中的运用………….….…14

7.2Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用……………………15

8Cauchy准则的推广——二元函数的Cauchy收敛准则……….….15

8.1预备知识……………………………………………………………………16

8.2二元函数的Cauchy收敛准则………………………………………………16

9总结…………………………………………………………………………….17

参考文献…………………………………………………………..……18

致谢……………………………………………………………………..19

Cauchy收敛准则的研究与应用

岳明达

（闽江学院数学系；

福建福州350108）

1、引言

在数学分析中有各种形式的Cauchy收敛准则，如函数极限，数列极限，定积分与广义积分，数项级数与函数级数等，它的思想将贯穿数学分析课程的始终，因此它被称为“数学分析中头等重要的定理”。

Cauchy收敛准则的应用比较广泛，在证明数列、函数极限的收敛以及在函数项级数的一致收敛上都起到重要作用。

在证明一些极限存在的问题上，Cauchy收敛准则的应用能大大降低解决问题的复杂程度。

在关于一元函数的极限问题有一个完整的理论体系之后，尤其是一元函数中的Cauchy收敛准则、迫效性及两个重要极限等研究得非常透彻，应用也非常广泛。

将一元函数中的相关定理推广到二元函数中去，以此得到相应的结论。

2、基本知识

2.1基本概念

定义2.1设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正数，使得当时有

则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作

，若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.

定义2.2给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

（1）

称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为数项级数

（1）的通项。

数项级数

（1）也常写作：

或简单写作.

数项级数

（1）的前n项之和，记为

，

称它为数项级数

（1）的第n个部分和，也简称为部分和。

3、数列的Cauchy收敛准则及应用

3.1数列的Cauchy收敛准则

数列收敛的充要条件是：

对任给的>

0,正整数，使得当时有.

证明[必要性]设，由数列极限定义，对当时有

＜，＜，

因而+＜+=.

[充分性]按假设，对任给的＞0，使得对一切,有，即在区间[，]内含有中的所有项（这里及以下，为叙述简单起见，我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”）.

据此，令=，则，在区间内含有中的所有项，记此区间为

再令=，则存在，在区间内含有几乎所有的项.

记，

它也含有中几乎所有的项，且满足

.

继续依次令，…,,…,照以上方法得一闭区间列{[]}其

中每个区间都含有中几乎所有的项，且满足：

（n）,

即是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数（.）.

现在证明数就是数列的极限。

事实上，由定理7.1的推论，对任给的

存在，使得当时有

因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证的（证毕）

数列的Cauchy收敛准则是数列收敛的等价命题，它也是判断数列敛散性的重要依据.

数列的Cauchy收敛准则两种常用形式是：

＞0，,对有<

或者对有<

尽管用Cauchy收敛准则判断数列极限时并没有提供计算极限的方法，但它的长处也正在于此—在论证极限问题时不需要事先知道极限的值.

3.2数列的Cauchy收敛准则在解题中的的应用

例3-1证明.

证明:

取,则有…＜…

.

∴由Cauchy收敛准则知收敛.

例3-2证明收敛

证对,取,则对,有

++…+

=+<

而由m>

知<

故.有柯西收敛准则知数列收敛

4、函数极限的Cauchy收敛准则及应用

4.1函数极限的Cauchy准则

设函数在内有定义，存在的充要条件是：

任给,存在正数，使得对任何∈有

证明（必要性）设，则对任给的,,存在正数，使得对有于是对任何∈有

（充分性）设数列,按假设对任给>

0,存在正数，使得对任何∈有＜，由于，对上述，使得当时有，从而有

∴由数列Cauchy收敛准则数列的极限存在记为A，即.

设另一数列且，则如上所证存在记为B，现证A=B.

设数列：

易见且

∴也收敛∴∴由归结原则，

4.2函数极限的Cauchy准则的应用

例4-1证明

证明：

有

显然即：

当时，就有：

于是对于上述，及，只要，就有：

由定理知，存在

例4-2证明不存在

分析：

取，由，可知：

取，有。

于是，由此即有

取，则对，取使得

已有，故由定理知，不存在

5、Cauchy收敛准则在证明级数收敛中的作用

5.1级数收敛的Cauchy准则

级数收敛的充要条件是：

任给正数

，总存在正数，使得当以及对任意的正数，都有

由收敛，可知部分和数列收敛；

即：

收敛，故对，当时,

故

5.2级数收敛的Cauchy准则的应用

例5-1应用级数收敛的Cauchy准则证明收敛

证由于

.

因此对任给的正数，取,使当时，对任意的正整数，由上式就有

.∴由级数收敛的柯西准则知收敛.

5.3函数列一致收敛的Cauchy准则

函数列在数集D上一致收敛充要条件是：

对任给的正数，总存在正数

使得当时，对一切都有

证[必要性]设一致收敛于，，即对任给的

存在正数，使得时，对一切都有，于是当

由上式就有.

[充分性]若条件

（1）成立，由数列收敛的Cauchy准则，

在D上任一点都收敛，记其极限函数为,,现固定

（1）中的

让，于是当时，对一切都有，∴当

时，在数集D上一致收