高考导数题型归纳文档格式.docx
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设曲线上的切点();
建立的等式关系。
将问题转化为关于的方程有三个不同实数根问题。
的范围是)
练习1.已知曲线
(1)求过点(1,-3)与曲线相切的直线方程。
答案:
(或)
(2)证明:
过点(-2,5)与曲线相切的直线有三条。
2.若直线与曲线相切,求的值.(答案:
1)
题型3求两个曲线、的公切线。
设曲线、的切点分别为()。
();
建立的等式关系,,;
求出,进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。
例求曲线与曲线的公切线方程。
(答案)
练习1.求曲线与曲线的公切线方程。
(答案或)
2.设函数,直线与函数的图象都相切,且与函数的图象相切于(1,0),求实数的值。
二.单调性问题
题型1求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。
分类的方法有:
(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;
(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);
(3)在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;
(4)在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。
注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
例已知函数
(1)求函数的单调区间。
(利用极值点的大小关系分类)
(2)若,求函数的单调区间。
(利用极值点与区间的关系分类)
练习已知函数,若,求函数的单调区间。
(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)
题型2已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。
方法1:
研究导函数讨论。
方法2:
转化为在给定区间上恒成立问题,
方法3:
利用子区间(即子集思想);
首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集。
“函数在上是减函数”与“函数的单调减区间是”的区别是前者是后者的子集。
例已知函数+在上是单调函数,求实数的取值范围.
(答案)
练习已知函数,且在区间上为增函数.求实数的取值范围。
题型3已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。
正难则反,研究在某区间的不单调
方法2:
研究导函数是零点问题,再检验。
方法3:
直接研究不单调,分情况讨论。
例设函数,在区间内不单调,求实数的取值范围。
))
三.极值、最值问题。
题型1求函数极值、最值。
基本思路:
定义域→疑似极值点→单调区间→极值→最值。
例已知函数,求在的极小值。
(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)
练习已知函数的图象过点,且函数的图象关于y轴对称.若,求函数在区间内的极值.
当时,有极大值,无极小值;
当时,有极小值,无极大值;
当或时,无极值.)
题型2已知函数极值,求系数值或范围。
1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。
方法2.转化为函数单调性问题。
例函数。
0是函数的极值点。
求实数值。
练习已知函数若函数存在极值,且所有极值之和大
,求a的取值范围。
题型3已知最值,求系数值或范围。
1.求直接求最值;
2.转化恒成立,求出范围,再检验。
例设,函数.若函数,在处取得最大值,求的取值范围.(答案:
练习已知函数,当时,函数在区间上的最小值是,求实数的取值范围。
四.不等式恒成立(或存在性)问题。
一些方法
1.若函数,>恒成立,,则
2.对任意,恒成立。
则。
3.对,成立。
4.对,恒成立。
转化恒成立
4.对,成立。
5.对,成立。
则
6.对,成立。
则构造函数。
转化证明在是增函数。
题型1已知不等式恒成立,求系数范围。
(1)分离法:
求最值时,可能用罗比达法则;
研究单调性时,或多次求导。
(2)讨论法:
有的需构造函数。
关键确定讨论标准。
分类的方法:
在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;
有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);
极值点的大小关系不定而而引起的分类;
极值点与区间的关系不定而引起分类。
分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
(3)数形结合:
(4)变更主元
解题思路1.代特值缩小范围。
2.化简不等式。
3.选方法(用讨论法时,或构造新函数)。
方法一:
分离法。
在恒成立,求实数取值范围。
(方法:
分离法,多次求导答案:
练习设函数,若当≥0时≥0,求a的取值范围。
分离法,用罗比达法则答案:
方法二:
讨论法。
有的需构造函数。
例设函数f(x)=.若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
的取值范围为)
练习1.设函数,时,,求实数的取值范围
2.函数,当对>0,,求实数取值范围。
(多种方法求解。
方法三:
变更主元
例:
设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,,若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值.(答案:
练习设函数。
证明:
当>3时,对任意,成立。
(提示化为),研究的单调性。
五.函数零点问题
题型1:
判断函数零点的个数。
方程法;
函数图象法;
转化法;
存在性定理
例.设.若函数有零点,求的取值范围.
(提示:
当时,,,所以成立,答案)
练习.求过点(1,0)作函数图象的切线的个数。
两条)
题型2:
已知函数零点,求系数。
图象法(研究函数图象与x轴交点的个数);
转化法(由函数转化方程,再转化函数,研究函数的单调性。
例.函数在(1,3)有极值,求实数的取值范围。
练习:
1.证明:
函数的图象与函数的图象无公共点。
六.不等式证明问题
构造函数,研究单调性,最值,得出不等关系,有的涉及不等式放缩。
方法2.研究两个函数的最值。
如证,需证的最小值大于的最大值即可。
讨论法
已知函数,曲线在点处的切线方程为。
当,且时,。
.已知函数.当时,.试讨论与的大小关系。
构造函数
已知函数与函数为常数,
(1)若图象上一点处的切线方程为:
,设是函数的图象上两点,,证明:
1.设函数。
构造函数,不等式放缩
例.已知函数
(I);
若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点.且a>
b>
0,为f(x)的导函数,求证:
(II)求证: