高三数学教案函数的综合问题Word格式文档下载.docx
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恒成立，则
A.b小于等于1B.b解析：
当x&
0，从而2x-
b&
1，即b小于等于2x-1.而x&
）时，2x-1单调增加，
&
there4;
b小于等于2-1=1.
答案：
A
2.若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，3）和B（3，-1），则不
等式|f（x+1）-1|解析：
由|f（x+1）-1|又f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过点
A（0，3），B（3，-1），
f（3）
（-1，2）
●典例剖析
【例1】取第一象限内的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依
次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线
l:
y=x（x>
0）的关系为
A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上
C.点P1在l的下方，P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方
剖析：
x1=+1=，x2=1+=，y1=1乘以=，y2=，∵y1
P1、P2都在l的下方.
D
【例2】已知f（x）是R上的偶函数，且f
（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且
对于x&
R，都有g（x）=f（x-1），求f（2002）的值.
解：
由g（x）=f（x-1），x&
R，得f（x）=g（x+1）.又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
故有f（x）=f（-x）=g（-x+1）=-g（x-1）=-f（x-2）=-f（2-x）=-g（3-x）=
g（x-3）=f（x-4），也即f（x+4）=f（x），x&
R.
f（x）为周期函数，其周期T=4.
f（2002）=f（4乘以500+2）=f
（2）=0.
评述：
应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】函数f（x）=（m>
0），x1、x2&
R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=.
（1）求m的值;
（2）数列{an}，已知an=f（0）+f（）+f（）++f（）+f
（1），求an.
（1）由f（x1）+f（x2）=，得+=，
4+4+2m=[4+m（4+4）+m2].
∵x1+x2=1，&
（2-m）（4+4）=（m-2）2.
4+4=2-m或2-m=0.
∵4+4&
2=2=4，
而m>
0时2-m&
m=2.
（2）∵an=f（0）+f（）+f（）++f（）+f
（1），&
an=f
（1）+f（）+f（）++f（）+f（0）.
2an=[f（0）+f
（1）]+[f（）+f（）]++[f
（1）+f（0）]=+++=.
an=.
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y&
R，有
f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>
0时，f（x）
（1）证明f（x）是奇函数;
（2）证明f（x）在R上是减函数;
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值.
（1）证明：
由f（x+y）=f（x）+f（y），得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），&
f（x）+f（-
x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），&
f（0）=0.从而有f（x）+f（-x）=0.
f（-x）=-f（x）.&
f（x）是奇函数.
（2）证明：
任取x1、x2&
R，且x10.&
f（x2-x1）&
-f（x2-
x1）>
0，即f（x1）>
f（x2），从而f（x）在R上是减函数.
（3）解：
由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最
小值是f（3）.由f
（1）=-2，得
f（3）=f（1+2）=f
（1）+f
（2）=f
（1）+f（1+1）=f
（1）+f
（1）+f
（1）=3f
（1）=3乘以（-2）=-6，f（-3）=-
f（3）=6.从而最大值是6，最小值是-6.
对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等
式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个
非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值.
提示：
由1*2=3，2*3=4，得
b=2+2c，a=-1-6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，
&
b=0=2+2c.
c=-1.&
（-1-6c）+cm=1.
-1+6-m=1.&
m=4.
4.
●闯关训练
夯实基础
1.已知y=f（x）在定义域[1，3]上为单调减函数，值域为[4，7]，若它存在反
函数，则反函数在其定义域上
A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7
C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3
解析：
互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f-1（x）的
值域是[1，3].
C
2.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是
___________________.
作函数y=|x2-4x+3|的图象，如下图.
由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2-4x+3|=1也
就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.
1
3.若存在常数p>
0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px-）（x&
R），则f（x）的一
个正周期为__________.
由f（px）=f（px-），
令px=u，f（u）=f（u-）=f[（u+）-]，&
T=或的整数倍.
（或的整数倍）
4.已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解，求a的取值范围.
a=sin2x-2sinx=（sinx-1）2-1.
∵-1小于等于sinx小于等于1，&
0小于等于（sinx-1）2小于等于4.
a的范围是[-1，3].
5.记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a
（1）求A;
（2）若BA，求实数a的取值范围.
（1）由2-&
0，得&
0，
x
（2）由（x-a-1）（2a-x）>
0，得（x-a-1）（x-2a）∵a2a.&
B=（2a，a+1）.
∵BA，&
2a&
1或a+1小于等于-1，即a&
或a小于等于-2.
而a故当BA时，实数a的取值范围是（-&
，-2]&
cup;
[，1）.
培养能力
6.（理）已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b&
0，c&
R）.
若f（x）的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f（x）是
否存在?
若存在，求出f（x）的表达式;
若不存在，请说明理由.
设符合条件的f（x）存在，
∵函数图象的对称轴是x=-，
又b&
0，&
-小于等于0.
①当-函数x=-有最小值-1，则
或（舍去）.
②当-1（舍去）或（舍去）.
③当-小于等于-1，即b&
2时，函数在[-1，0]上单调递增，则解得
综上所述，符合条件的函数有两个，
f（x）=x2-1或f（x）=x2+2x.
（文）已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b&
∵函数图象的对称轴是
x=-，又b&
-小于等于-.
设符合条件的f（x）存在，
①当-小于等于-1时，即b&
1时，函数f（x）在[-1，0]上单调递增，则
②当-1（舍去）.
综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.
7.已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+&
），且f
（2）=2+.设点P是函数图
象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.
（1）求a的值.
（2）问：
|PM|&
bull;
|PN|是否为定值?
若是，则求出该定值;
若不是，请说明理
由.
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.
（1）∵f
（2）=2+=2+，&
a=.
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0>
0，由点到直线的距离公
式可知，|PM|==，|PN|=x0，&
有|PM|&
|PN|=1，即|PM|&
|PN|
为定值，这个值为1.
（3）由
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