最新解析几何中的切线问题资料Word文件下载.docx

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的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且

，

．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕

转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以

为原点，

所在的直线为

轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线

与两定直线

和

分别交于

两点．若直线

总与椭圆

有且只有一个公共点，试探究：

的面积是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；

若不存在，说明理由．

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）当直线

与椭圆

在四个顶点处相切时，

的面积取得最小值8.

【解析】

（Ⅰ）因为

，当

在x轴上时，等号成立；

同理

重合，即

轴时，等号成立.所以椭圆C的中心为原点

，长半轴长为

，短半轴长为

，其方程为

（Ⅱ）

（1）当直线

的斜率不存在时，直线

为

或

，都有

.

（2）当直线

的斜率存在时，设直线

，由

消去

，可得

.因为直线

有且只有一个公共点，所以

，即

.①

又由

可得

；

同理可得

.由原点

到直线

的距离为

.②

将①代入②得，

.当

时，

当

.因

，则

，所以

，当且仅当

时取等号.所以当

的最小值为8.

综合

（1）

（2）可知，当直线

的面积取得最小值8.

下面我们用切线系方程来求解该题第（Ⅱ）题

此题运用切线系方程计算量较小，且不用讨论切线

斜率不存在的情况，大大节省了解题的时间。

像这样在椭圆的切线问题中运用切线系方程解题的例子还有：

下面我们用椭圆的切线系方程来求解该题第

（2）题

此题运用切线方程，可以避免因为漏掉特殊点而失分，且计算量相对较小，计算过程也很简单，不涉及太复杂的技巧。

下面我们用椭圆的切线系方程来解这道题.

The鎻愯ChuaiXi樿ChuaiCongplank綍在用切线系方程解第（3）题之前，我向大家介绍一种快速解第

（2）题的方法。

这个方法设计三角形中角平分线的相关性质。

A

TheYue夌JiangChenュ姪Lu?

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TheCongplay珛鎷呬繚鐗╂潈

D

TheChanч噺Luarch

TheLuу埌閫氱煡

The鏀DuoChuaistrandHong數Xuan?

第（3）题仍然可用椭圆的切线系方程快速求解

TheYing樿ChuaiQiЩ

此类问题还有很多，本文就不一一列举。

一般来说，切线系方程在解决椭圆的切线问题时，具有计算量小的特点，有时还可以避免讨论特殊情况，一定程度上减少了失误的可能性。

有关圆的切线问题使用切线系方程并没有明显优势，因为用圆心到直线的距离等于半径这一条件更为简单，大家可以参考

。

关于抛物线的切线问题也不建议大家用切线系方程求解，具体可以参考

关于双曲线的切线问题，出现频率较低，暂不作讨论。

附：

①对于圆

的切线系方程：

，其中点

是圆上任意一点。

TheXiｆ敹LuфZi撶畻②对于椭圆

是椭圆上任意一点。

③对于双曲线

是双曲线上任意一点。

（另一种形式的双曲线可以类比得到对应的切线系方程）

④对于抛物线

是抛物线上任意一点。

（另一种形式的抛物线可以类比得到对应的切线系方程）