强烈推荐高三数学第二轮专题复习平面向量Word格式文档下载.doc
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由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：
一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；
另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。
五、典型例题
平面向量
【例1】在下列各命题中为真命题的是（）
①若=（x1,y1）、=（x2,y2），则·
=x1y1+x2y2
②若A（x1,y1）、B（x2,y2），则｜｜=
③若=（x1,y1）、=（x2,y2）,则·
=0x1x2+y1y2=0
④若=（x1,y1）、=（x2,y2），则⊥x1x2+y1y2=0
A、①②B、②③C、③④D、①④
解：
根据向量数量积的坐标表示；
若=（x1,y1）,=（x2,y2），则·
=x1x2+y1y2，对照命题
（1）的结论可知，它是一个假命题、
于是对照选择支的结论、可以排除（A）与（D），而在（B）与（C）中均含有（3）、故不必对（3）进行判定，它一定是正确的、对命题
（2）而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了（C），应选择（B）、
说明：
对于命题（3）而言，由于·
=0=或=或⊥x1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、
而对于命题（4）来讲，⊥x1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即=，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0⊥），所以命题（4）是个假命题、
【例2】已知=（－,－1）,=（1,），那么，的夹角θ=（）
A、30°
B、60°
C、120°
D、150°
·
=（－,－1）·
（1，）=－2
｜｜==2
∴cosθ===
【例3】已知=（2,1）,=（－1,3）,若存在向量使得：
=4,·
=－9，试求向量的坐标、
设=（x,y）,则由·
=4可得：
2x+y=4；
又由·
=－9可得：
－x+3y=－9
于是有：
由
（1）+2
（2）得7y=－14,∴y=－2,将它代入
（1）可得：
x=3
∴=（3,－2）、
已知两向量，可以求出它们的数量积·
，但是反过来，若已知向量及数量积·
，却不能确定、
【例4】求向量=（1,2）在向量=（2，－2）方向上的投影、
设向量与的夹角θ、
有cosθ===－
∴在方向上的投影=｜｜cosθ=×
（－）=－
【例5】已知△ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高AD，求及点D的坐标、
设点D的坐标为（x,y）
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴⊥
又∵C、B、D三点共线，
∴∥
又=（x－2,y－1）,=（－6,－3）
=（x－3,y－2）
∴
解方程组，得x=,y=
∴点D的坐标为（，），的坐标为（－，）
【例6】设向量、满足：
｜｜＝｜｜=1，且+=（1，0），求，、
∵｜｜＝｜｜=1，
∴可设=（cosα,sinα）,=（cosβ,sinβ）、
∵+=（cosα+cosβ,sinα+sinβ）=（1,0），
由
（1）得：
cosα=1－cosβ……（3）
由
（2）得：
sinα=－sinβ……（4）
∴cosα=1－cosβ=
∴sinα=±
sinβ=
或
【例7】对于向量的集合A={=（x,y）｜x2+y2≤1}中的任意两个向量、与两个非负实数α、β；
求证：
向量α+β的大小不超过α+β、
证明：
设=（x1,y1），=（x2,y2）
根据已知条件有：
x21+y21≤1,x22+y22≤1
又因为｜α+β｜=
=
其中x1x2+y1y2≤≤1
所以｜α+β｜≤=｜α+β｜=α+β
【例8】已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°
CD=DA=AB、
AC⊥BC
以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1
则A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，1）
∴=（－1,1）,=（1,1）
=－1×
1+1×
1=0
∴BC⊥AC、
【例9】已知A（0，a）,B（0,b）,（0＜a＜b），在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值、
解，设C（x,0）（x＞0）
则=（－x,a）,=（－x,b）
则·
=x2+ab、
cos∠ACB==
令t=x2+ab
故cos∠ACB=
当=即t=2ab时，cos∠ACB最大值为、
当C的坐标为（,0）时，∠ACB最大值为arccos、
【例10】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明
（1）PA=EF
（2）PA⊥EF
建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，
｜｜=λ,则A（0，1），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0）
∴=（－λ,1－λ）,=（λ－1,－λ）
（1）｜｜2=（－λ）2+（1－λ）2=λ2－λ+1
｜｜2=（λ－1）2+（－λ）2=λ2－λ+1
∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF
（2）·
=（－λ）（λ－1）+（1－λ）（－λ）=0
∴⊥∴PA⊥EF、
【例11】已知
①求；
②当k为何实数时,k与平行,平行时它们是同向还是反向？
①=（1,0）+3（2,1）=（7,3）,∴==.
②k=k（1,0）－（2,1）=（k－2,－1）.
设k=λ（）,即（k－2,－1）=λ（7,3）,
∴.
故k=时,它们反向平行.
【例12】已知与的夹角为,若向量与垂直,求k.
=2×
1×
=1.
∵与垂直,
∴（）=,
∴2k=－5.
【例13】如果△ABC的三边a、b、c满足b2+c2=5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线,求证：
BE⊥CF.
∴⊥,即BE⊥CF.
【例14】是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?
如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，
满足，，，两两不共线，有
（+）·
（+）
=（+++）·
（++）
=（2++）·
（2+）
=（2－）·
=42－2
=42－2=0
有（+）与（+）垂直、
同理证其他情况、从而，，，满足题意、故存在这样4个平面向量、
平面向量的综合应用
1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题
【例1】已知向量满足条件，，求证：
是正三角形
令O为坐标原点，可设
由，即
①
②
两式平方和为，，
由此可知的最小正角为，即与的夹角为，
同理可得与的夹角为，与的夹角为，
这说明三点均匀分部在一个单位圆上，
所以为等腰三角形.
【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数
如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、
轴建立直角坐标系，设，则，
从而可求：
=.
.
2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题
【例3】已知，AD为中线，求证
以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，
设，，
则，
=，
从而，
3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量
【例4】已知点是
且试用
以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2，，所以，
易求，设
【例5】如图，
用表示
以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，
4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题
【例6】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
（1）求证：
C1C⊥BD.
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？
请给出证明.
（1）证明：
设=a,=b,=c,依题意，|a|=|b|，、、中两两所成夹角为θ，于是=a－b，=c（a－b）=c·
a－c·
b=|c|·
|a|cosθ－|c|·
|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.
（2）解：
若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，
由
=（a+b+c）·
（a－c）=|a|2+a·
b－b·
c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·
|a|cosθ－|b|·
|c|·
cosθ=0,得
当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD，
∴=1时，A1C⊥平面C1BD.
【例7】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°
，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos<
>
的值；
（3）求证：
A1B⊥C1M.
（1）如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
依题意得：
B（0，1，0），N（1，0，1）
∴||=.
A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
∴==（0，1，2）
=1×
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