高考数学解答题分类汇编函数Word文档格式.doc
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若存在，求a的取值范围；
若不存在，请说明理由。
（2010浙江理数）（22）（本题满分14分）已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列（其中=）依次成等差数列?
若存在，求所有的及相应的；
若不存在，说明理由．
本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：
f’（x）=ex（x-a）
令
于是，假设
（1）当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意。
（2）当x1a且x2a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x1<
a<
x2.
即
所以b＜-a
所以b的取值范围是（-∞，-a）
此时
或
（2）当时，则或
于是
综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，
时，
（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：
当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。
作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
（2010陕西文数）21、（本小题满分14分）
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x）,当h（x）存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
（3）对
（2）中的（a），证明：
当a（0，+）时，（a）1.
解
（1）f’（x）=,g’（x）=（x>
0）,
由已知得=alnx，
=，解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e）切线的斜率为k=f’（e2）=,
切线的方程为y-e=（x-e2）.
（2）由条件知
Ⅰ当a.>
0时，令h（x）=0,解得x=,
所以当0<
x<
时h（x）<
0，h（x）在（0，）上递减；
当x>
时，h（x）>
0，h（x）在（0，）上递增。
所以x>
是h（x）在（0，+∞）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点。
所以Φ
（a）=h（）=2a-aln=2
Ⅱ当a
≤
0时，h（x）=（1/2-2a）/2x>
0,h（x）在（0，+∞）递增，无最小值。
故h（x）的最小值Φ
（a）的解析式为2a（1-ln2a）（a>
o）
（3）由
（2）知Φ
（a）=2a（1-ln2a）
则Φ
1（a）=-2ln2a，令Φ
1（a）=0解得a=1/2
当0<
1/2时，Φ
1（a）>
0，所以Φ
（a）在（0,1/2）上递增
当a>
1/2时，Φ
1（a）<
0，所以Φ（a）在（1/2,+∞）上递减。
所以Φ（a）在（0,+∞）处取得极大值Φ（1/2）=1
因为Φ（a）在（0,+∞）上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值
所当a属于（0,+∞）时，总有Φ（a）
1
（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅱ）设，证明：
对任意，.
解：
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,+），.
当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；
当a≤－1时，＜0,故f（x）在（0,+）单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈（0,）时,＞0；
x∈（，+）时，＜0,故f（x）在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.
令g（x）=f（x）+4x,则
+4
＝.
于是≤＝≤0.
从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1）≤g（x2），
即 f（x1）+4x1≤f（x2）+4x2，故对任意x1,x2∈（0,+），.
（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；
时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
，①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2].……12分
（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。
（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。
（2010江西理数）19.（本小题满分12分）
设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间。
（2）若在上的最大值为，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：
对函数求导得：
，定义域为（0，2）
（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当a=1时，令
当为增区间；
当为减函数。
（2）区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定
待定量a的值。
当有最大值，则必不为减函数，且>
0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。
。
（2010安徽文数）20.（本小题满分12分）
设函数，，求函数的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】
（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
（2010重庆文数）（19）（本小题满分12分）,（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
已知函数（其中常数a,b∈R）,是奇函数.
（Ⅰ）求的表达式;
（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
（2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数（a-b）<
b）。
（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。
（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，
证明：
存在实数，使得按某种顺序排列后的等差数列，并求
（2010重庆理数）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
已知函数其中实数。
（I）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（II）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。
（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）当时，讨论的单调性.
（2010北京文数）（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义A与B的差为
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设，求，；
（Ⅱ）证明：
，且;
（Ⅲ）证明：
三个数中至少有一个是偶数
=（1,0,1,0,1）
=3
设
因为，所以
从而
由题意知
当时，
所以
（Ⅲ）证明：
记由（Ⅱ）可知
所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数。
则
由此可知，三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数。
（2010北京理数）（18）（本小题共13分）
已知函数（）=In（1+）-+（≥0）。
（Ⅰ）当=2时，求曲线=（）在点（1，
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求（）的单调区间。
（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；
在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；
在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
（2010四川理数）（22）（本小题满分14分）
设（且），g（x）是f（x）的反函数.
（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：
；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
（1）由题意，得ax＝＞0
故g（x）＝，x∈（－∞,－1）∪（1,＋∞）
由得
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