高考数学之三角函数知识点总结文档格式.doc
《高考数学之三角函数知识点总结文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学之三角函数知识点总结文档格式.doc（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
定理2诱导公式（Ⅰ）sin（α+π）=-sinα,cos（π+α）=-cosα,tan（π+α）=tanα;
（Ⅱ）sin（-α）=-sinα,cos（-α）=cosα,tan（-α）=-tanα;
（Ⅲ）sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan=（π-α）=-tanα;
（
Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。
单调区间：
在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：
当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。
对称性：
直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。
这里k∈Z.
定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx（x∈R）的性质。
在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。
最小正周期为2π。
奇偶性：
偶函数。
直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。
有界性：
当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；
当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。
值域为[-1，1]。
定理5正切函数的性质：
由图象知奇函数y=tanx（xkπ+）在开区间（kπ-,kπ+）上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当
时，．
当时，
；
当
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在
上是增函数；
上是减函数．
在上是增函数；
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
无对称轴
定理6两角和与差的基本关系式：
cos（αβ）=cosαcosβsinαsinβ,
sin（αβ）=sinαcosβcosαsinβ;
tan（αβ）=
定理7和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,
sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,
cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）],
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）],
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）],
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）].
定理8倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9半角公式:
sin=,cos=,
tan==
定理10万能公式:
,
定理11辅助角公式：
如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点（a,b）的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.
asinα+bcosα=sin（α+β）.
定理12正弦定理：
在任意△ABC中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13余弦定理：
在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14图象之间的关系：
y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；
经左右平移得y=sin（x+）的图象（相位变换）；
纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin（）的图象（周期变换）；
横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；
y=Asin（x+）（>
0）的图象（周期变换）；
y=Asin（x+）（,>
0）（|A|叫作振幅）的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx（x∈[-1,1]），函数y=cosx（x∈[0,π]）的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx（x∈[-1,1]）.函数y=tanx的反函数叫反正切函数。
记作y=arctanx（x∈[-∞,+∞]）.y=cosx（x∈[0,π]）的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx（x∈[-∞,+∞]）.
定理15三角方程的解集，如果a∈（-1,1），方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+（-1）narcsina,n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。
恒等式：
arcsina+arccosa=；
arctana+arccota=.
定理16若，则sinx<
x<
tanx.
二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
1（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是
（A）0（B）1（C）2（D）4
2．最小正周期的确定。
例2求函数y=sin（2cos|x|）的最小正周期。
【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos（-x）=cosx，所以co|x|=cosx）；
其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<
π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin（2cos0）=sin2sin（2cosπ），所以T0=2π。
1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是（）
A．B．C．D．
2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则=
3.（04全国）函数的最小正周期是（）.
4.
（1）（04北京）函数的最小正周期是.
（2）（04江苏）函数的最小正周期为（）.
5.（09年广东文）函数是（）
A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
6.（浙江卷2）函数的最小正周期是.
3．三角最值问题。
例3已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】令sinx=,
则有y=
因为，所以，
所以≤1，
所以当，即x=2kπ-（k∈Z）时，ymin=0，
当，即x=2kπ+（k∈Z）时，ymax=2.
【解法二】因为y=sinx+,
=2（因为（a+b）2≤2（a2+b2）），
且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以当=sinx，即x=2kπ+（k∈Z）时,ymax=2，
当=-sinx，即x=2kπ-（k∈Z）时,ymin=0。
注：
三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
练习1.（09福建）函数最小值是=。
2.（09上海）函数的最小值是.
3．将函数的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是
A．B． C． D．
4.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）
A．1 B． C． D．2
5.函数在区间上的最大值是（）
A.1 B. C. D.1+
4．换元法的使用。
例4求的值域。
【解】设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=，所以，
因为t-1，所以，所以y-1.
所以函数值域为
5．图象变换：
y=sinx（x∈R）与y=Asin（x+）（A,,>
0）.
由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin（x+）的图象；
也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin（x+）的图象。
例5已知f（x）=sin（x+）（>
0,0≤≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
【解】由f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），所以sin（+）=sin（-x+），所以cossinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤≤π，解得=，
因为f（x）图象关于对称，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin
所以（k∈Z），即=（2k+1）（k∈Z）.
又>
0，取k=0时，此时f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥，此时f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
1.（09山东）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
2.
（1）（07山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向
平移个单位
（2）（全国一8）为得到函数的图像，只需将函数的图像
向平移个单位
（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向平移
个单位长度
3.将函数y=cosx－sinx的图象向左平移m（m>
0）个单位，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（D）
A.B. C.D.
4.（湖北）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值
升级会员 