全国通用版版高中数学第一章导数及其应用11变化率与导数111变化率问题1Word格式文档下载.docx
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思考1 物体的路程s与时间t的关系是s（t）＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
答案 Δs＝5（1＋Δt）2－5＝10Δt＋5（Δt）2，＝＝10＋5Δt.
思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？
怎样理解这一速度？
答案 当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
梳理 瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
（2）一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝＝
.
知识点三 函数在某点处的导数
函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝，我们称它为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或，即f′（x0）＝＝.
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．（ ×
）
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．（ ×
3．函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．（ √ ）
类型一 函数的平均变化率
例1 求函数y＝f（x）＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
考点 变化问题与变化率
题点 变化率大小的比较
解 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1<
k2<
k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大．
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤
（1）先计算函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）．
（2）再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
（3）得平均变化率＝.
跟踪训练1
（1）已知函数y＝f（x）＝x2＋2x－5的图象上的一点A（－1，－6）及邻近一点B（－1＋Δx，－6＋Δy），则＝________.
（2）如图所示是函数y＝f（x）的图象，则函数f（x）在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
函数f（x）在区间[0,2]上的平均变化率为________．
考点 平均变化率
题点 函数的平均变化率
答案
（1）Δx
（2）
解析
（1）＝
＝＝Δx.
（2）函数f（x）在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
由函数f（x）的图象知，f（x）＝
所以函数f（x）在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
例2 过曲线y＝f（x）＝x2－x上的两点P（1,0）和Q（1＋Δx，Δy）作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
题点 平均变化率的应用
解 割线PQ的斜率即为函数f（x）从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f（1＋Δx）－f
（1）
＝（1＋Δx）2－（1＋Δx）－（12－1）＝Δx＋（Δx）2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思与感悟 函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f（x）图象上两点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））连线P1P2的斜率，即
＝＝.
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1（t），s2（t）与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（ ）
A．v甲>
v乙
B．v甲<
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
答案 B
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1（t）在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2（t）在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC<
kBC，所以v甲<
v乙．
类型二 求瞬时速度
例3 某物体的运动路程s（单位：
m）与时间t（单位：
s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．
考点 求瞬时速度
题点 用极限思想求瞬时速度
解 ∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴＝（3＋Δt）＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.
引申探究
1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝1＋Δt，
∴（1＋Δt）＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1m/s.
2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.
又＝＝（2t0＋1）＋Δt.
＝（2t0＋1＋Δt）＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.
反思与感悟
（1）不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．
（2）求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
②求平均速度＝；
③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝.
跟踪训练3 一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：
m，时间单位：
s），若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．
题点 瞬时速度在实际问题中的应用
解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴＝4a＝8，即a＝2.
类型三 导数定义的应用
例4
（1）若函数f（x）可导，则等于（ ）
A．－2f′
（1）B.f′
（1）
C．－f′
（1）D．f′
考点 导数的概念
题点 导数的概念的简单应用
答案 C
解析
＝－＝－f′
（1）．
（2）求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解 因为Δy＝（1＋Δx）－－
＝Δx＋，
所以＝＝1＋.
＝＝2，
所以f′
（1）＝2，
即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
反思与感悟
（1）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
②求平均变化率＝；
③求极限.
（2）瞬时变化率的变形形式
＝
＝f′（x0）．
跟踪训练4 已知f（x）＝3x2，f′（x0）＝6，求x0.
考点 导数定义的应用
题点 导数定义在函数中的应用
解 ∵f′（x0）＝
＝＝（6x0＋3Δx）＝6x0，
又f′（x0）＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
1．设函数y＝f（x）＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（ ）
A．2.1B．1.1C．2D．0
答案 A
解析 ＝＝＝2.1.
2．物体运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：
s），若v＝＝18m/s，则下列说法中正确的是（ ）
A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B．18m/s是物体从3s到（3＋Δt）s这段时间内的速度
C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
D．18m/s是物体从3s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度
题点 导数概念的理解
3．设函数f（x）＝ax＋3，若f′
（1）＝3，则a等于（ ）
A．2B．－2C．－3D．3
答案 D
解析 因为f′
（1）＝
＝＝a.
因为f′
（1）＝3，所以a＝3.
4．如图，函数y＝f（x）在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．
答案 [x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f（x）在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
5．一物体的运动方程为s（t）＝7t2－13t＋8，则t0＝________时该物体的瞬时速度为1.
答案 1
＝（14t0－13＋7Δt）
＝14t0－13＝1，得t0＝1.
理解平均变化率要注意以下几点：
（1）平均变化率表示点（x1，f（x1））与点（x2，f（x2））连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
（2）为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式．
（3）函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
利用导数定义求导数：
（1）取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
（2）函数在x0处的导数f′（x0）只与x0有关，与Δx无关．
（3）导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
一、选择题
1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy等于（ ）
A.B．－C．1D．－1
考点 函数自变量、因变量的增量
题点 函数因变量的增量
解析 Δy＝－（2＋1）＝－.
2．函数f（x）＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
解析 平均变化率为＝＝5.
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（ ）
A．－3B．3C．6D．－6
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝（－3Δt－6）＝－6.
4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2
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