高中文科数学立体几何部分整理文档格式.docx

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一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.

解决两种常见的题型时应注意：

（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.

（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

解：

在图2的右边放扇墙（心中有墙）,可得答案A

（二）立体几何

1.棱柱

1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形

长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体

1.3棱柱的性质：

侧棱都相等，侧面是平行四边形；

两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4面积、体积公式：

（是底周长，是高）

S直棱柱表面=c·

h+2S底V棱柱=S底·

h

2.圆柱

2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.

2.2圆柱的性质：

上、下底及平行于底面的截面都是等圆；

过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.

2.3侧面展开图：

圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.

2.4面积、体积公式：

S圆柱侧=；

S圆柱全=，V圆柱=S底h=（其中r为底面半径，h为圆柱高）

3.棱锥

3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3.2棱锥的性质：

平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

）（如上图：

为直角三角形）

3.3侧面展开图：

正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

3.4面积、体积公式：

S正棱锥侧=，S正棱锥全=，V棱锥=.（其中c为底面周长，侧面斜高，h棱锥的高）

正四面体：

对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。

对棱间的距离为（正方体的边长）

正四面体的高（）

正四面体的体积为（）

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）

4.棱台

4.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.

4.2正棱台的性质：

各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；

如右图：

四边形都是直角梯形

棱台经常补成棱锥研究.如右图：

，注意考虑相似比.

4.3棱台的表面积、体积公式：

侧，，（其中是上，下底面面积，h为棱台的高）

5.圆锥

5.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

5.2圆锥的性质：

平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

轴截面是等腰三角形；

.

5.3圆锥的侧面展开图：

圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。

5.4面积、体积公式：

S圆锥侧=，S圆锥全=，V圆锥=（其中

r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）

6.圆台

6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

6.2圆台的性质：

圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；

圆台的轴截面是等腰梯形；

圆台经常补成圆锥来研究。

，注意相似比的应用.

6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；

6.4圆台的表面积、体积公式：

S圆台侧=π·

（R+r）·

l（r、R为上下底面半径）

S圆台全=π·

r2+π·

R2+π·

l

V圆台=1/3（πr2+πR2+πrR）h（h为圆台的高）

7.球

7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；

7.2球的性质：

球心与截面圆心的连线垂直于截面；

（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）

7.3球与多面体的组合体：

球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

注意圆与正方体的两个关系：

球内接正方体，球直径等于正方体对角线；

球外切正方体，球直径等于正方体的边长。

7.4球面积、体积公式：

（其中R为球的半径）

例：

（福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_________

例题讲练

1、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）

A．B．

C．D．

从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，其表面及为：

，故选D。

2、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

（1）求该几何体的体积V；

（2）求该几何体的侧面积S

解:

由已知可得该几何体是底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD。

（1）

（2）该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为

另两个侧面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,

AB边上的高为

因此

3、用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（　　）

A.B.C.D.

截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，

所以根据球的体积公式知，故B为正确答案．

第二章点、直线、平面之间的位置关系

（一）平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界

1.1三个定理与三个推论

公理1：

如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

（用于证明直线在平面内）

公理2：

不共线的三点确定一个平面.（用于确定平面）

推论1：

直线与直线外的一点确定一个平面.

推论2：

两条相交直线确定一个平面.

推论3：

两条平行直线确定一个平面.

公理3：

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.

用途：

常用于证明线在面内，证明点在线上.

（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：

1.1平行线的传递公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表述：

1.2等角定理：

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线：

（1）定义：

不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：

连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。

图形语言：

符号语言：

1.4异面直线所成的角：

（1）范围：

；

（2）作异面直线所成的角：

平移法.

如右图，在空间任取一点O，过O作，则所成的角为异面直线所成的角。

特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.

2.直线与平面的位置关系：

3.平面与平面的位置关系：

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

定义：

直线与平面无公共点.即.

判定定理：

（线线平行线面平行）

性质定理：

（线面平行线线平行）

④（面面平行线面平行）；

⑤（用于判断）；

2.线面斜交：

直线与平面所成的角（简称线面角）：

若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

【如图】于O，则AO是PA在平面内的射影，则就是直线PA与平面所成的角。

范围：

，注：

若，则直线与平面所成的角为；

若，则直线与平面所成的角为。

3.面面平行：

判定1：

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：

（如图一）

判定2：

垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：

.【如图二】

图一图二

面面平行的性质：

（1）（面面平行线面平行）；

（2）；

（面面平行线线平行）

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直

若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

若任意都有，且，则.

（线线垂直线面垂直）

证明或判定线面垂直的依据：

（1）（较常用）；

（2）

性质：

（1）（线面垂直线线垂直）；

3.2面面斜交

二面角：

【如图】

作二面角的平面角的方法：

（1）定义法；

（2）三垂线法（常用）；

（3）垂面法.

3.3面面垂直

若二面角的平面角为，则；

（2）判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

（线面垂直面面垂直）

（3）性质：

若，二面角的一个平面角为，则；

（面面垂直线面垂直）；

.

（一）、立体几何网络图：

1、线线平行的判断：

（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（12）、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断：

（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：

一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直