1718版 第5章 第26课 函数yAsinωx+φ的图象及应用文档格式.docx

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3.由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0）的图象

先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移

⇓　　　　　　　　　　　　⇓

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．（　　）

（2）将y＝3sin2x的图象左移

个单位后所得图象的解析式是y＝3sin

.（　　）

（3）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（　　）

（4）函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）电流I（单位：

A）随时间t（单位：

s）变化的函数关系式是I＝5sin

，t∈[0，＋∞），则电流I变化的初相、周期分别是________．

，

　[由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是

，周期T＝

.]

3．（2017·

如皋市高三调研一）将函数f（x）＝sin

的图象向右平移

个单位，所得图象的解析式为________．

f（x）＝－cos2x　[f（x）＝sin

y＝sin

＝sin

＝－cos2x.]

4．将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移

个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为________．

　[把函数y＝sin（2x＋φ）沿x轴向左平移

个单位后得到函数y＝sin2

为偶函数，则|φ|的最小值是

5．若函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的部分图象如图261，则ω＝________.

图261

4　[由图象可知，

＝x0＋

－x0＝

所以T＝

，所以ω＝4.]

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换

　已知函数f（x）＝3sin

，x∈R.

（1）画出函数f（x）在一个周期的闭区间上的简图；

（2）将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f（x）的图象.

【导学号：

62172143】

[解]　

（1）列表取值：

x－

f（x）

3

－3

描出五个关键点并用光滑曲线连结，得到一个周期的简图．

（2）先把y＝sinx的图象向右平移

个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图象．

[规律方法]　1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω

确定平移单位．

2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，

，π，

π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．

[变式训练1]　

（1）（2016·

全国卷Ⅲ）函数y＝sinx－

cosx的图象可由函数y＝2sinx的图象至少向右平移________个单位长度得到．

（2）（2017·

苏北四市联考）将函数y＝sin2x的图象向左平移φ（φ>

0）个单位，若所得的图象过点

，则φ的最小值为________．

（1）

（2）

　[

（1）∵y＝sinx－

cosx＝2sin

，∴函数y＝sinx－

cosx的图象可由函数y＝2sinx的图象向右平移

个单位长度得到．

（2）函数y＝sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则y＝sin（2x＋2φ），由

得，

＋2φ＝

＋2kπ或

＋2kπ，k∈Z，

即φ＝kπ或φ＝

＋kπ，k∈Z，

∴φ的最小正值为

求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

（1）（2016·

全国卷Ⅱ改编）函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图262所示，则相应函数的解析式为________．

图262

（2）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为

，直线x＝

是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为________．（填序号）

①y＝4sin

；

②y＝2sin

＋2；

③y＝2sin

④y＝2sin

＋2.

（1）y＝2sin

（2）④　[

（1）由图象知

，故T＝π，因此ω＝

＝2.又图象的一个最高点坐标为

，所以A＝2，且2×

＋φ＝2kπ＋

（k∈Z），故φ＝2kπ－

（k∈Z），结合选项可知y＝2sin

.

（2）由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为

，可知

，得ω＝4.由直线x＝

是其图象的一条对称轴，可知4×

＋φ＝kπ＋

，k∈Z，从而φ＝kπ－

，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin

＋2.]

[规律方法]　确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法

（1）求A，b：

确定函数的最大值M和最小值m，则A＝

，b＝

（2）求ω：

确定函数的周期T，则可得ω＝

（3）求φ：

常用的方法有：

①代入法：

把图象上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．

②五点法：

确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）时ωx＋φ＝0；

“第二点”（即图象的“峰点”）时ωx＋φ＝

“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）时ωx＋φ＝π；

“第四点”（即图象的“谷点”）时ωx＋φ＝

“第五点”时ωx＋φ＝2π.

[变式训练2]　（2017·

泰州模拟）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图263所示，则f

的值为________．

图263

－1　[由图象可得A＝

，最小正周期T＝4

＝π，则ω＝

＝2.又f

sin

＝－

，解得φ＝－

＋2kπ（k∈Z），即k＝1，φ＝

，则f（x）＝

，f

＝－1.]

函数y＝Asin（ωx＋φ）图象与性质的应用

　（2016·

天津高考）已知函数f（x）＝4tanxsin

·

cos

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间

上的单调性．

[解]　

（1）f（x）的定义域为

f（x）＝4tanxcosxcos

＝4sinxcos

＝4sinx

＝2sinxcosx＋2

sin2x－

＝sin2x＋

（1－cos2x）－

＝sin2x－

cos2x＝2sin

所以f（x）的最小正周期T＝

＝π.

（2）令z＝2x－

，则函数y＝2sinz的单调递增区间是

，k∈Z.

由－

＋2kπ≤2x－

≤

＋2kπ，

得－

＋kπ≤x≤

＋kπ，k∈Z.

设A＝

，B＝x

k∈Z，易知A∩B＝

所以当x∈

时，f（x）在区间

上单调递增，在区间

上单调递减．

[规律方法]　讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．

[变式训练3]　（2017·

无锡期中）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）

的图象经过点

，且相邻两条对称轴间的距离为

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）若将f（x）的图象向左平移

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间

上的最大值和最小值.【导学号：

62172144】

[解]　

（1）∵f（x）的图象过点

，∴sinφ＝

又0<

φ<

，∴φ＝

又∵相邻两条对称轴间的距离为

∴周期为π，

即

＝π，ω＝2，

∴f（x）＝2sin

令－

＋2kπ≤2x＋

＋2kπ，其中k∈Z，

则－

＋kπ，其中k∈Z，

∴函数f（x）的单调增区间是

（2）由已知得：

g（x）＝f

＝2sin

即g（x）＝2sin

＝2cos

∵x∈

，∴2x＋

∈

故当2x＋

＝π即x＝

时，g（x）min＝g

＝－2；

当2x＋

即x＝0时，g（x）max＝g

＝1.

[思想与方法]

1．由图象确定函数解析式

由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；

若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．

2．对称问题

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为（x，±

A）的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻对称中心的距离）．

[易错与防范]

1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．

2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．

3．由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；

而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是

（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．

4．函数y＝Asin（ωx＋φ）在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asint的值域．

课时分层训练（二十六）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．若函数f（x）＝

（ω＞0）的最小正周期为

，则f

＝________.

62172145】

0　[由f（x）＝

，得ω＝4，所以f

＝0.]

2．将函数y＝cos2x＋1的图象向右平移

个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为________．

y＝sin2x　[y＝cos2x＋1

y＝cos2

＋1＝cos

＋1＝sin2x＋1

y＝sin2x＋1－1＝sin2x.]

苏北四市期末）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）的部分图象如图264所示，若AB＝5，则ω的值为________．

图264

　[由题图可知

＝3，

∴T＝6，

∴ω＝

4．（2016·

全国卷