高考人A通用理数学一轮复习讲义第2章 第1节 函数及其表示Word格式.docx

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1．函数与映射的概念

函数

映射

两集合A，B

设A，B是两个非空的数集

设A，B是两个非空的集合

对应关系f：

A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数

A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

函数y＝f（x），x∈A

映射：

f：

2.函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域

在函数y＝f（x），x∈A中，自变量x的取值范围（数集A）叫做函数的定义域；

函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

（2）函数的三要素：

定义域、对应关系和值域．

（3）相等函数：

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

（4）函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）函数是特殊的映射．（　　）

（2）函数y＝1与y＝x0是同一个函数．（　　）

（3）与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．（　　）

（4）分段函数是两个或多个函数．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）√　（4）×

2．（教材改编）函数y＝＋的定义域为（　　）

A.　　　　　B.（－∞，3）∪（3，＋∞）

C.∪（3，＋∞）D.（3，＋∞）

C　[由题意知

解得x≥且x≠3.]

3．（2017·

东北三省四市二联）已知函数f（x）＝则f＝（　　）

A．4　　　B.　　

C.－4　　　D.－

B　[∵f＝log5＝log55－2＝－2，

∴f＝f（－2）＝2－2＝，故选B.]

4．（2015·

全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3－2x的图象过点（－1,4），则a＝________.

－2　[∵f（x）＝ax3－2x的图象过点（－1,4），

∴4＝a×

（－1）3－2×

（－1），解得a＝－2.]

5．给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；

②f（x）＝＋是一个函数；

③函数y＝2x（x∈N）的图象是一条直线；

④f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgx是同一个函数．

其中正确命题的序号是________．

【导学号：

01772018】

①　[由函数的定义知①正确．

∵满足的x不存在，∴②不正确．

∵y＝2x（x∈N）的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．

∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确．]

求函数的定义域

（1）（2016·

江苏高考）函数y＝的定义域是________．

（2）（2017·

郑州模拟）若函数y＝f（x）的定义域为[0,2]，则函数g（x）＝的定义域是________．

（1）[－3,1]　

（2）[0,1）　[

（1）要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得（x－1）（x＋3）≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．

（2）由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，

所以0≤x<

1，即g（x）的定义域为[0,1）．]

[规律方法]　1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式（组）求解．

2．

（1）若已知f（x）的定义域为[a，b]，则f（g（x））的定义域可由a≤g（x）≤b求出；

（2）若已知f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域．

[变式训练1]　

（1）函数f（x）＝＋的定义域为（　　）

A．（－3,0]　　　　　B.（－3,1]

C．（－∞，－3）∪（－3,0]D.（－∞，－3）∪（－3,1]

（2）已知函数f（2x）的定义域为[－1,1]，则f（x）的定义域为________.

【导学号：

01772019】

（1）A　

（2）　[

（1）由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0.

（2）∵f（2x）的定义域为[－1,1]，

∴≤2x≤2，即f（x）的定义域为.]

求函数的解析式

（1）已知f＝lgx，求f（x）的解析式．

（2）已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，求f（x）的解析式．

（3）已知f（x）＋2f＝x（x≠0），求f（x）的解析式．

[解]　

（1）令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，

∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg（x＞1）．

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝2，得c＝2，f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，

∴即∴f（x）＝x2－x＋2.

（3）∵f（x）＋2f＝x，∴f＋2f（x）＝.

联立方程组

解得f（x）＝－（x≠0）．

[规律方法]　求函数解析式的常用方法

（1）待定系数法：

若已知函数的类型，可用待定系数法；

（2）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

（3）构造法：

已知关于f（x）与f或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f（x）；

（4）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），即得f（x）的表达式．

[变式训练2]　

（1）已知f（＋1）＝x＋2，则f（x）＝________.

（2）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝2·

f·

－1，则f（x）＝________.

（1）x2－1（x≥1）　

（2）＋（x＞0）　[

（1）（换元法）设＋1＝t（t≥1），则＝t－1，

所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），

所以f（x）＝x2－1（x≥1）．

（配凑法）f（＋1）＝x＋2＝（＋1）2－1，

又＋1≥1，∴f（x）＝x2－1（x≥1）．

（2）在f（x）＝2f·

－1中，用代替x，

得f＝2f（x）·

－1，

由

得f（x）＝＋（x＞0）．]

分段函数及其应用

☞角度1　求分段函数的函数值

（1）（2015·

全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）＝（　　）

A．3B.6

C．9D.12

东北三省四市一联）已知函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），如果f（x＋2016）＝那么f·

f（－7984）＝（　　）

01772020】

A．2016　　　B.

C.4　　　D.

（1）C　

（2）C　

（1）∵－2<

1，

∴f（－2）＝1＋log2（2＋2）＝1＋log24＝1＋2＝3.

∵log212>

1，∴f（log212）＝2log212－1＝＝6.

∴f（－2）＋f（log212）＝3＋6＝9.故选C.

（2）当x≥0时，有f（x＋2016）＝sinx，∴f＝sin＝1；

当x＜0时，f（x＋2016）＝lg（－x），∴f（－7984）＝f（－10000＋2016）＝lg10000＝4，∴f·

f（－7984）＝1×

4＝4，故选C.]

☞角度2　已知分段函数的函数值求参数

（1）（2017·

成都二诊）已知函数f（x）＝若f（f（－1））＝2，则实数m的值为（　　）

A．1B.1或－1

C.D.或－

（2）设函数f（x）＝若f＝4，则b＝（　　）

A．1　　　B.

C.　　　D.

（1）D　

（2）D　[

（1）f（f（－1））＝f（1＋m2）＝log2（1＋m2）＝2，m2＝3，解得m＝±

，故选D.

（2）f＝3×

－b＝－b，若－b<

1，即b>

，则3×

－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；

若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]

☞角度3　解与分段函数有关的方程或不等式

石家庄一模）已知函数f（x）＝且f（x）＝－，则x的值为________．

（2）（2014·

全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是________．

（1）－　

（2）（－∞，8]　[

（1）当－1＜x≤0时，f（x）＝sin＝－，解得x＝－；

当0＜x＜1时，f（x）＝log2（x＋1）∈（0,1），此时f（x）＝－无解，故x的值为－.

（2）当x<

1时，x－1<

0，ex－1<

e0＝1≤2，

∴当x<

1时满足f（x）≤2.

当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.

综上可知x∈（－∞，8]．]

[规律方法]　1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

易错警示：

当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．

[思想与方法]

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：

一是定义域是否相同；

二是对应关系是否相同．

2．定义域优先原则：

函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．

3．求函数解析式的几种常用方法：

待定系数法、换元法、配凑法、构造法．

4．分段函数问题要分段求解．

[易错与防范]

1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．

2．用换元法求函数解析式时，