山东省青州市2016届中考数学第一轮复习18圆的切线性质与判定学案(新)Word下载.doc
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（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的；
（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的；
考点三三角形的外接圆和内切圆
名称
三角形的外接圆
三角形的内切圆
圆心名称
描述
经过三角形三顶点的圆，外心是的交点
与三角形三边都相切的圆，内心是的交点
图形示例
性质
三角形外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形内心到三角形三边的距离相等
【基础演练】
1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l和⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC＝70°
，则∠A等于（ ）
A．15°
B．20°
C．30°
D．70°
3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°
，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线；
二、典型例题
1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．
解：
在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB.连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10.
方法总结：
已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.
2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.
（1）求证：
ED是⊙O的切线；
（2）当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
（1）证明：
如图，连接OD，
∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°
，∴∠ODE＝90°
，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.
∴∠1＋∠5＝90°
，∠2＋∠6＝90°
.又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC.
∴E是AC的中点． ∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.
证明圆的切线分为三种情况：
有过切点的半径，证垂直；
有切点，无半径，连半径，证垂直；
无切点，作垂直，证相等.
三、题组训练
1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，
连接BD，∠C＝40°
，则∠ABD的度数是（ ）
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.求证：
PC是⊙O的切线；
四、课后作业
1、Rt△ABC中，∠C＝90°
，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为（ ）A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm
2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°
，则∠C的大小等于（ ）A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为（ ）
A．4B．3C．6D．2
4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径.
五、附基础演练、例题、练习题答案及课后作业详细解析与评分标准
1．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．
2．直线与圆的位置关系
2
1
交点
切点
无
割线
切线
（1）直线l和⊙O相交⇔d<
r；
（2）直线l和⊙O相切⇔d＝r；
（3）直线l和⊙O相离⇔d>
r.
1．切线的判定方法
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
2．切线的性质切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径；
三角形的外心
三角形的内心
经过三角形三顶点的圆，外心是三角形三边中垂线的交点
与三角形三边都相切的圆，内心是三角形三条角平分线的交点
1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l和⊙O的位置关系是（ A ）
解析：
∵⊙O的半径r＝4cm，圆心O到直线l的距离d＝3.5cm，∴d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A.
，则∠A等于（ B ）
∵BC与⊙O相切于点B，∠ABC＝70°
，∴∠ABO＝20°
.又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝20°
.故选B.
答案：
B
连接OC，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°
即可；
∵CA=CE，∠CAE=30°
，∴∠E=∠CAE=30°
，∠COE=2∠A=60°
∴∠OCE=90°
，∴CE是⊙O的切线；
2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.
（1）求证：
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.
∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°
，∴DE是⊙O的切线．
（2）∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.
又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∴∠1＋∠5＝90°
.
又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC.∴E是AC的中点．
∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.
1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°
，则∠ABD的度数是（ B ）
∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°
.∵∠C＝40°
∴∠AOC＝50°
，∴∠B＝25°
证明：
如图，连接OC，
∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°
又∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC.而∠PGC＝∠FGB，∠OCB＝∠FBG，
∴∠PCG＋∠OCB＝90°
即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；
，AC＝=3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为（ B ）
A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm
作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，∠C＝90°
，AC＝3cm，BC＝4cm，由勾股定理，可得AB＝5（cm）．再由面积法，求得CD＝2.4（cm），即r的值为2.4cm.故选B.
，则∠C的大小等于（ C ）
A．20°
如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°
∵OA＝OB，∠B＝25°
，∴∠OAB＝∠B＝25°
∴∠C＝180°
－∠B－∠BAC＝180°
－25°
－90°
＝40°
.故选C.
C
3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为（ B ）
如图，连接OD，∵DF是圆的切线，
∴DF⊥OD.又∵OC＝OD，∠C＝60°
，∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°
，∴∠ADF＝30°
.又∵∠A＝60°
，∴∠AFD＝90°
，OD∥AB.
又∵点O是BC的中点，∴点D是AC的中点．在Rt△ADF中，AD＝2AF＝4，
∴AB＝AC＝8，故BF＝AB－AF＝6.在Rt△BFG中，∠BFG＝30°
∴FG＝BF·
cos∠BFG＝6×
＝3.故选B.
（1）AF是⊙O的切线．
理由如下：
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°
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