届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案Word文档格式.docx
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＋β）等．
（3）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：
－α与
＋α；
＋α与
－α；
－α等．②常见的互补的角：
＋θ与
－θ；
－θ等．
【小试牛刀】若0＜α＜
－
＜β＜0,cos
＝
cos
则cos
等于（ ）
A.
B．－
C.
D．－
【解析】cos
＝cos
cos
＋sin
sin
∵0＜α＜
∴
＜
＋α＜
∴sin
.
又－
＜β＜0,则
故cos
×
【答案】C
二、函数变换,乃是重点
三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数（当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数）之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.
【例2】【2017天津六校高三上学期期中联考】若
．
【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用
＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（2）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切（分子分母同除以cosα或cos2α）求解．如果分母为1,可考虑将1写成sin2α＋cos2α.（3）已知tanα＝m的条件下,求解关于sinα,cosα的齐次式问题,必须注意以下几点：
①一定是关于sinα,cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式．②因为cosα≠0,所以可以用cosnα（n∈N*）除之,这样可以将被求式化为关于tanα的表示式,可整体代入tanα＝m的值,从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin2α＋cos2α的运用．
【小试牛刀】设
且
则（）
B.
C.
D.
【解析】由
又
故
即
三、常数化角,曲径通幽
三角公式中有不少常数,如1、
、
等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.
【例3】【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】函数
的图象的一条对称轴方程为（）
A．
B．
C．
D．
【分析】先用辅助角公式对所给函数进行变换：
=
【答案】B
【点评】常数的变换在辅助角公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.
【小试牛刀】【2016届山东师大附中高三上学期二模】若
且
【解析】因为,
所以
所以
四、降幂化一,热点不断
三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.
【例4】【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数
（1）求函数
的最小正周期和最大值；
（2）求函数
单调递增区间
【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．
【解析】
（1）
函数
的最小正周期为
的最大值为
（2）由
得
的单调递增区间为
【点评】在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的．总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆,达到使角相同；
通过转换函数,达到同名（最好使式中只含一个函数名）；
通过对式子变形,达到化简（尽可能整式化、低次化、有理化）；
通过幂的升降,达到幂的统一．
∈R、k∈N等.
【小试牛刀】已知函数f（x）＝2
cos2x＋sin2x－
＋1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈,求f（x）的值域．
（3）∵x∈,
∴2x＋
∈．
∴sin（2x＋
）∈．
∴f（x）∈．
五、和差倍分,注意结构
三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.
【例5】已知
.
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【分析】先化简表达式,利用商数关系得到
再利用倍角公式展开
将
代入到化简的式子中计算即可；
第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于
的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.
（1）∵
∴
∴
（2）原式
【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解.
【小试牛刀】【2017江西省抚州市七校2高三上学期联考】若
【答案】D
六、公式变用,柳暗花明
三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα＝
tanα±
tanβ＝tan（α＋β）（1
tanαtanβ）等.
【例7】
的值为（）
B.
【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°
＋50°
＝60°
入手,然后注意表达式特征,其中的tan10°
＋tan50°
和tan10°
tan50°
在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.
变形
故
．
【答案】B.
【点评】三角公式是恒等式（当等式两边都有意义时）,所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.
总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法
【小试牛刀】【2017江西九江月考】
的值是（）
A．1B．
C．2D．
故选C．
迁移运用
1.【2017河北唐山高三年级期末】已知
C.
【解析】因为
故选D．
2.设α、β都是锐角,且cosα＝
sin（α＋β）＝
则cosβ等于（ ）
或
【答案】A
【解析】依题意得sinα＝
cos（α＋β）＝±
＝±
.又α,β均为锐角,所以0<
α<
α＋β<
π,cosα>
cos（α＋β）．因为
>
所以cos（α＋β）＝－
.于是cosβ＝cos
＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－
3.【2017山东省枣庄高三上学期期末】已知
的值是（）
D．
4.【2016届河北省正定中学高三上学期期中】已知
的值是
5．【2016届福建省师大附中高三上学期期中】若
6.cos
·
A．－
D.
【解析】原式＝cos
π·
cos（－3π＋
π）＝
＝－
7．已知
那么
等于（）
8.已知
9.4cos50°
－tan40°
＝（ ）
B.
C.
D．2
－1
【解析】4cos50°
＝4cos50°
10.【2017河南省天一大联考】已知
【答案】
故答案为
11.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】已知
12.【2017山东省枣庄高三上学期期末】函数
的减区间是．
由
得
所以函数
的减区间是
13．【2017黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知
14.【2017山西省孝义高三上学期二轮模考】已知
求下列各式的值.
；
（2）
（1）∵
∴
则原式
（2）∵
∴原式
15.【2017河南省天一大联考】已知函数
的最小正周期与单调递增区间；
（2）若
时,函数
的最大值为0,求实数
则函数
的最小正周期
根据
所以函数
（2）因为
则当
时,函数取得最大值0,
即
解得
考点：
1、三角函数值的周期性及单调性；
2、三角函数在闭区间上的最值.
16.【2017四川省资阳高三上学期第一次诊断考试】已
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