最新初中数学竞赛辅导资料初一用Word下载.docx

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又如7007　　700－14＝686，　　68－12＝56（能被7整除）

能被11整除的数的特征：

①抹去个位数　　②减去原个位数　　　③其差能被11整除

如　1001　　　100－1＝99（能11整除）

又如10285　　1028－5＝1023　　102－3＝99（能11整除）

二、例题

例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。

求x,y

解：

x,y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.

∵328＋＝567，∴x=3

例2已知五位数能被12整除，求

∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，

　　当1＋2＋3＋4＋能被3整除时，x=2，5，8

　　当末两位能被4整除时，＝0，4，8

　　　∴＝8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数

五位数字都不相同的最小五位数是10234，

　但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行

　调整末两位数为30，41，52，63，均可，

∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习一

1、分解质因数：

（写成质因数为底的幂的连乘积）

①756　　②1859　　③1287　④3276　⑤10101　⑥10296

2、若四位数能被3整除，那么a=_______________

3、若五位数能被11整除，那么＝__________

4、当m=_________时，能被25整除

5、当n=__________时，能被7整除

6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

8、8个数：

①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：

6________,8__________,9_________,11__________

9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？

为什么？

11、已知五位数能被15整除，试求A的值。

12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13、在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是______（1989年全国初中联赛题）

　　　　　　第二讲倍数　约数

一、内容提要

1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。

0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±

A，±

2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±

5，±

10，……。

4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±

1和±

A。

例如6的约数是±

1，±

2，±

3，±

6。

5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。

7、在有余数的除法中，被除数＝除数×

商数＋余数。

若用字母表示可记作：

A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。

例如23＝3×

7＋2，则23－2能被3整除。

二、例题　

例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以

应用：

2，22，23，24，3，32，33，34，2×

3，22×

32　。

　解：

列表如下

正整数

正约数

个

数

计

个数计

正

整

2

1，2

3

1，3

2×

1，2，

3，6

4

22

1，2，4

32

1，3，32

22×

1，2，3，

4，6，12

6

23

4，8

33

1，3，

32，33

4，6，9，

12，18，36

9

24

1，2，4，

8，16

5

34

1，3，32，

33，34

其规律是：

设A＝ambn　（a，b是质数,m，n是正整数），那么合数A的正约数的个数是（m+1）（n+1）

例如求360的正约数的个数

分解质因数：

360＝23×

32×

5，

　360的正约数的个数是（3＋1）×

（2＋1）×

（1＋1）＝24（个）

例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数

∵24＝23×

3，90＝2×

∴最大公约数是2×

3，记作（24，90）＝6

　最小公倍数是23×

5＝360，记作[24,90]=360

例3已知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N

∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数

　∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6

经检验1和2不合题意，∴N＝6，3

例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数　

分析：

依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。

　∵[10,9,8]=360,　

　　∴所以所求的数是359

练习二

1、12的正约数有_________,16的所有约数是_________________

2、分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________

3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。

4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________

5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______，最大三位数是________

6、已知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________

7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。

8、一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？

若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？

9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶；

如果每步跨3阶，那么最后剩2阶；

如果每步跨4阶，那么最后剩3阶；

如果每步跨5阶，那么最后剩4阶；

如果每步跨6阶，那么最后剩5阶；

只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？

　　　　　　第三讲　质数　合数

1、正整数的一种分类：

质数的定义：

如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

　合数的定义：

一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。

2、根椐质数定义可知

1质数只有1和本身两个正约数。

2质数中只有一个偶数2。

如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；

如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。

3、任何合数都可以分解为几个质数的积。

能写成几个质数的积的正整数就是合数。

例1两个质数的和等于奇数a（a≥5），求这两个数。

∵两个质数的和等于奇数

　　∴必有一个是2

所求的两个质数是2和a－2。

例2已知两个整数的积等于质数m,求这两个数。

∵质数m只含两个正约数1和m,

又∵（－1）（－m）=m

∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.

例3已知三个质数a,b,c它们的积等于30，求适合条件的a,b,c的值。

30＝2×

3×

　适合条件的值共有：

，，，，，

应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×

5×

7，那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。

例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。

（本题答案不是唯一的）

　设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×

5　　　

　那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数

即32，33，34，35就是所求的一组数。

本题可推广到n个。

令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，

N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。

练习三

1、小于100的质数共___个，它们是__________________________________

2、已知质数P与奇数Q的和是11，则P＝_______，Q＝_______

3、已知两个素数的差是41，那么它们分别是______________

4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是______________；

如果两个整数的积等于73，那么它们是______________；

如果两个质数的积等于15，则它们是______________。

5、两个质数x和y，已知xy=91,那么x=_______,y=_______,或x=_______,y=_______.

6、三个质数a,b,c它们的积等于1990，那么　

7、能整除311＋513的最小质数是_______

8、已知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M，求M及＋的值。

9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。

10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？

11、求适合下列三个条件的最小整数：

1大于1　②没有小于10的质因数　③不是质数

12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，

那么这个质数是_______

13、一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是_______。

第四讲零的特性

（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。

　　　零是自然数，是整数，是偶数。

1、零是表示具有相反意义的量的基准数。

例如：

海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支平衡可记作结存0元。

2、零是判定正、负数的界限。

若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0

记作　a＞0a是正数　　读作a＞0等价于a是正数

　　　　b<

0b是负数

　　　　c≥0c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）

　　　　d0d是非正数（即d不是正数，而是负数或0）

　　　　e0e不