最新初中数学竞赛辅导资料初一用Word下载.docx
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又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除)
能被11整除的数的特征:
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100-1=99(能11整除)
又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除)
二、例题
例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。
求x,y
解:
x,y都是0到9的整数,∵能被9整除,∴y=6.
∵328+=567,∴x=3
例2已知五位数能被12整除,求
∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除,
当1+2+3+4+能被3整除时,x=2,5,8
当末两位能被4整除时,=0,4,8
∴=8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
五位数字都不相同的最小五位数是10234,
但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行
调整末两位数为30,41,52,63,均可,
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一
1、分解质因数:
(写成质因数为底的幂的连乘积)
①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2、若四位数能被3整除,那么a=_______________
3、若五位数能被11整除,那么=__________
4、当m=_________时,能被25整除
5、当n=__________时,能被7整除
6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7、能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最大四位数是_________。
8、8个数:
①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):
6________,8__________,9_________,11__________
9、从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10、由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3整除的数共有几个?
为什么?
11、已知五位数能被15整除,试求A的值。
12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13、在十进制中,各位数码是0或1,并能被225整除的最小正整数是______(1989年全国初中联赛题)
第二讲倍数 约数
一、内容提要
1、两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。
例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数,7是0的约数。
3、整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±
A,±
2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±
5,±
10,……。
4、整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±
1和±
A。
例如6的约数是±
1,±
2,±
3,±
6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7、在有余数的除法中,被除数=除数×
商数+余数。
若用字母表示可记作:
A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除。
例如23=3×
7+2,则23-2能被3整除。
二、例题
例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以
应用:
2,22,23,24,3,32,33,34,2×
3,22×
32 。
解:
列表如下
正整数
正约数
个
数
计
个数计
正
整
2
1,2
3
1,3
2×
1,2,
3,6
4
22
1,2,4
32
1,3,32
22×
1,2,3,
4,6,12
6
23
4,8
33
1,3,
32,33
4,6,9,
12,18,36
9
24
1,2,4,
8,16
5
34
1,3,32,
33,34
其规律是:
设A=ambn (a,b是质数,m,n是正整数),那么合数A的正约数的个数是(m+1)(n+1)
例如求360的正约数的个数
分解质因数:
360=23×
32×
5,
360的正约数的个数是(3+1)×
(2+1)×
(1+1)=24(个)
例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数
∵24=23×
3,90=2×
∴最大公约数是2×
3,记作(24,90)=6
最小公倍数是23×
5=360,记作[24,90]=360
例3已知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N
∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数
∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6
经检验1和2不合题意,∴N=6,3
例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数
分析:
依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。
∵[10,9,8]=360,
∴所以所求的数是359
练习二
1、12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2、分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________
3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4、一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_________
5、能同时被3,5,11整除的最小四位数是_______,最大三位数是________
6、已知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A=________
7、写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数。
8、一个长方形的房间长1.35丈,宽1.05丈,要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸?
若用整数寸作为边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合?
9、一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶;
如果每步跨3阶,那么最后剩2阶;
如果每步跨4阶,那么最后剩3阶;
如果每步跨5阶,那么最后剩4阶;
如果每步跨6阶,那么最后剩5阶;
只有每步跨7阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?
第三讲 质数 合数
1、正整数的一种分类:
质数的定义:
如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:
一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2、根椐质数定义可知
1质数只有1和本身两个正约数。
2质数中只有一个偶数2。
如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2;
如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2。
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
例1两个质数的和等于奇数a(a≥5),求这两个数。
∵两个质数的和等于奇数
∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a-2。
例2已知两个整数的积等于质数m,求这两个数。
∵质数m只含两个正约数1和m,
又∵(-1)(-m)=m
∴所求的两个整数是1和m或者-1和-m.
例3已知三个质数a,b,c它们的积等于30,求适合条件的a,b,c的值。
30=2×
3×
适合条件的值共有:
,,,,,
应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×
5×
7,那么适合条件的a,b,c,d值共有24组,试把它写出来。
例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数。
(本题答案不是唯一的)
设N是不大于5的所有质数的积,即N=2×
5
那么N+2,N+3,N+4,N+5就是适合条件的四个合数
即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积,那么N+2,
N+3,N+4,……N+(n+1)就是所求的合数。
练习三
1、小于100的质数共___个,它们是__________________________________
2、已知质数P与奇数Q的和是11,则P=_______,Q=_______
3、已知两个素数的差是41,那么它们分别是______________
4、如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是______________;
如果两个整数的积等于73,那么它们是______________;
如果两个质数的积等于15,则它们是______________。
5、两个质数x和y,已知xy=91,那么x=_______,y=_______,或x=_______,y=_______.
6、三个质数a,b,c它们的积等于1990,那么
7、能整除311+513的最小质数是_______
8、已知两个质数A和B适合等式A+B=99,AB=M,求M及+的值。
9、试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数。
10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数?
11、求适合下列三个条件的最小整数:
1大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数
12、某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,
那么这个质数是_______
13、一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是_______。
第四讲零的特性
(一)零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数,是整数,是偶数。
1、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:
海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支平衡可记作结存0元。
2、零是判定正、负数的界限。
若a>0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则a>0
记作 a>0a是正数 读作a>0等价于a是正数
b<
0b是负数
c≥0c是非负数(即c不是负数,而是正数或0)
d0d是非正数(即d不是正数,而是负数或0)
e0e不