山东省高中数学必修四导学案14 三角函数的图象和性质 小结 缺答案.docx

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山东省高中数学必修四导学案14三角函数的图象和性质小结缺答案

1.4三角函数的图象和性质小结

编审：

周彦魏国庆

【学习目标】

1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性．

【新知自学】

知识梳理：

1．周期函数及最小正周期

对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f（x）为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f（x）的最小正周期．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

x∈R

x∈R

x∈R且x≠＋

kπ，k∈Z

值域

______

______

______

单调性

在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z

在______上递增，k∈Z；

在______上递减，k∈Z

在______上递增，k∈Z

最值

x＝________（k∈Z）时，ymax＝1；

x＝________（k∈Z）时，ymin＝－1

x＝________（k∈Z）时，ymax＝1；x＝__________（k∈Z）时，ymin＝－1

无最值

奇偶性

________

________

________

对

称

性

对称中心

______

______

______

对称轴

______

____

无对称轴

最小正

周期

______

______

______

对点练习：

1、函数y＝cos，x∈R（　　）．

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

2．下列函数中，在上是增函数的是（　　）．

A．y＝sinxB．y＝cosx

C．y＝sin2xD．y＝cos2x

3．函数y＝cos的图象的一条对称轴方程是（　　）．

A．x＝－B．x＝－

C．x＝D．x＝π

4．函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是（　　）．

A．0B．1

C．－1D．

5．已知函数y＝sinx的定义域为，值域为，则b－a的值不可能是（　　）．

A．B．

C．πD．

【合作探究】

典例精析：

一、三角函数的定义域与值域

例1、

（1）求函数y＝lgsin2x＋的定义域．

（2）求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．

规律总结：

1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求解涉及三角函数的值域（最值）的题目一般常用以下方法：

（1）利用sinx，cosx的值域；

（2）化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出值域；

（3）换元法：

把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题．

变式练习1：

（1）求函数y＝的定义域．

（2）已知函数f（x）＝cos＋2sin·sin，求函数f（x）在区间上的最大值与最小值．二、三角函数的单调性

例2、

（1）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f（x）的最小正周期为6π，且当x＝时，f（x）取得最大值，则（　　）．

A．f（x）在区间上是增函数

B．f（x）在区间上是增函数

C．f（x）在区间上是减函数

D．f（x）在区间上是减函数

（2）设a∈R，f（x）＝cosx（asinx－cosx）＋cos2满足f＝f（0），求函数f（x）在上的最大值和最小值．

规律总结：

1．熟记y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．

2．求形如y＝Asin（ωx＋φ）＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把ω化为正数．

变式练习2：

（1）若函数y＝2cosωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是（　　）

A.2　　B.C.3　　D.

（2）函数f（x）＝sin的单调减区间为_____________．三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性

例3、设函数f（x）＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ（x∈R）的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若y＝f（x）的图象经过点，求函数f（x）的值域．规律总结：

求三角函数周期的方法：

（1）利用周期函数的定义；

（2）公式法：

y=Asin（ωx＋φ）和y=Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y=tan（ωx＋φ）的最小正周期为；

变式练习3：

已知函数f（x）＝（sinx－cosx）sinx，x∈R，则f（x）的最小正周期是________．【课堂小结】【当堂达标】

1．若函数f（x）＝sin（φ∈）是偶函数，则φ＝（　　）．

A．B．C．D．

2．函数y＝ln（sinx－cosx）的定义域为__________．

3．函数y＝2sin的单调递增区间为__________．

4．设函数f（x）＝cos＋sin2x.

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．

（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝，=-，且C为锐角，求sinA.

5．已知函数f（x）＝sinx（cosx－sinx）．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）将函数y＝sin2x的图象向左平移a个单位，向下平移b个单位，得到函数y＝f（x）的图象，求a，b的值；

（3）求函数f（x）的单调增区间．

【课时作业】

1、已知函数y＝sinx的定义域为，值域为，则b－a的值不可能是（　　）

A.　　B.C.π　　D.

2、若函数f（x）＝sin（φ∈）是偶函数，则φ＝（　　）

A.　　B.C.　　D.

3、函数y＝cos图象的对称轴方程可能是（　　）．

A．x＝－B．x＝－

C．x＝D．x＝

4.如果函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω>0）的两个相邻零点之间的距离为，则ω的值为（　　）

A.3　　B.6C.12　D.24

5.函数f（x）＝cos（2x＋）（x∈R），下面结论不正确的是（　　）

A.函数f（x）的最小正周期为π

B.函数f（x）的对称中心是（，0）

C.函数f（x）的图象关于直线x＝对称

D.函数f（x）是偶函数

6、若0＜α＜，g（x）＝sin是偶函数，则α的值为________．

7、函数y＝2sin（3x＋φ）的一条对称轴为x＝，则φ＝________.

8、函数y＝cos（3x＋φ）的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

9.若函数f（x）＝2tan（kx＋）的最小正周期T满足1

10.设二次函数f（x）=x2+bx+c（b,c∈R）,已知不论α、β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0.

（1）求证：

b+c=－1；

（2）求证c≥3；

（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c的值.11、有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：

工人师傅是怎样选择矩形的四点的？

并求出最大面积值.12、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？

若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.【延伸探究】

设f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤对一切x∈R恒成立，则

①f＝0

②＜

③f（x）既不是奇函数也不是偶函数

④f（x）的单调递增区间是（k∈Z）

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．

以上结论正确的是__________（写出正确结论的编号）．