数列解题技巧归纳总结Word格式文档下载.docx

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∴an=1+2（n-1）即an=2n-1

例2、已知

满足

，而

，求

=？

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例3、已知

中

，

.

解：

由已知可知

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

★说明 

只要和f

（1）+f

（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

（3）递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例4、

中，

，对于n＞1（n∈N）有

解法一：

由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。

两式相减：

an+1-an=3（an-an-1）

因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×

1+2）-1=4

∴an+1-an=4·

3n-1∵an+1=3an+2 

∴3an+2-an=4·

3n-1即an=2·

3n-1-1

解法二：

上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：

a2-a1=4，a3-a2=4·

3，a4-a3=4·

32，…，an-an-1=4·

3n-2，

把n-1个等式累加得：

∴an=2·

（4）递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数）

由上题的解法，得：

∴

（5）递推式为

思路：

设

可以变形为：

想

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求

。

（6）递推式为Sn与an的关系式

关系；

（2）试用n表示an。

∴

上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。

∴2nan=2+（n-1）·

2=2n

2．数列求和问题的方法

（1）、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋（2n-1）=n2

【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。

解 

本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=

个奇数，

∴最后一个奇数为：

1+[

n（n+1）-1]×

2=n2+n-1

因此所求数列的前n项的和为

（2）、分解转化法

对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

【例9】求和S=1·

（n2-1）+2·

（n2-22）+3·

（n2-32）+…+n（n2-n2）

S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）

（3）、倒序相加法

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

例10、求和：

例10、解

∴Sn=3n·

2n-1

（4）、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．

例11、求数列1，3x，5x2,…,（2n-1）xn-1前n项的和．

设Sn=1+3+5x2+…+（2n-1）xn-1． 

①

（2）x=0时，Sn=1．

（3）当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+（2n-1）xn，②

①-②，得（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-（2n-1）xn．

（5）裂项法：

把通项公式整理成两项（式多项）差的形式，然后前后相消。

常见裂项方法：

例12、求和

注：

在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法

1．函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】 

等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？

此函数以n为自变量的二次函数。

∵a1＞0 

Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下

∵f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。

分析 

本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解∵依题意可知q≠1。

∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。

由此应推出a1=0与等比数列不符。

∵q≠1

整理得 

q3（2q6-q3-1）=0 

∵q≠0

此题还可以作如下思考：

S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。

S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），

∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0

3．换元思想

【例15】 

已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且

求证：

a，b，c顺次成等比数列。

证明 

依题意令ax=by=cz=k

∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b2=ac∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）