高中数学新人教版必修2教案第3章 331 两条直线的交点坐标+332 两点间的距离 含答案Word格式.docx

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C.

D.

【解析】　由方程组

得

即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是

.

【答案】　C

教材整理2　两点间的距离

阅读教材P104“练习”以下至P105“例3”以上部分，完成下列问题．

1．平面上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式|P1P2|＝

2．两点间距离的特殊情况

（1）原点O（0,0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝

（2）当P1P2∥x轴（y1＝y2）时，|P1P2|＝|x2－x1|.

（3）当P1P2∥y轴（x1＝x2）时，|P1P2|＝|y2－y1|.

已知点A（－1,2），点B（2,6），则线段AB的长为__________．

【解析】　由两点间距离公式得|AB|＝

＝5.

【答案】　5

[小组合作型]

两直线的交点问题

　直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程.

【精彩点拨】　先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．

【自主解答】　法一　联立方程

解得

即直线l过点（－1,3）．

因为直线l的斜率为

，

所以直线l的方程为y－3＝

（x＋1），即3x－2y＋9＝0.

法二　因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，

所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，

整理得（1＋λ）x＋（λ－1）y＋4－2λ＝0，

因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，

所以

＝

≠

，解得λ＝

所以直线l的方程为

x－

y＋

＝0，即3x－2y＋9＝0.

1．解本题有两种方法：

一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；

二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解．

2．过两条相交直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不含直线l2）．

[再练一题]

1．求经过两直线l1：

3x＋4y－2＝0和l2：

2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

【解】　法一　由方程组

即l1与l2的交点坐标为（－2,2）．

∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝

＝－1.

故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.

法二　∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ（2x＋y＋2）＝0（λ∈R），即（3＋2λ）x＋（4＋λ）y＋2λ－2＝0.将原点坐标（0,0）代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.

两点间距离公式的应用

　已知△ABC的三个顶点坐标是A（－3,1），B（3，－3），C（1,7）．

（1）判断△ABC的形状；

（2）求△ABC的面积．

【精彩点拨】　

（1）先依据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；

（2）结合三角形形状求解．

【自主解答】　

（1）法一　∵|AB|

＝2

|AC|＝

又|BC|＝

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二　∵kAC＝

，kAB＝

＝－

则kAC·

kAB＝－1，∴AC⊥AB.

又|AC|＝

|AB|＝

∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）△ABC的面积S△ABC＝

|AC|·

×

2

＝26.

1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．

2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：

一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；

二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．

2．若等腰三角形ABC的顶点A是（3,0），底边BC的长为4，BC边的中点为D（5,4），求等腰△ABC的腰长．

【解】　因为|AD|＝

在Rt△ABD中，由勾股定理得

所以等腰△ABC的腰长为2

[探究共研型]

坐标法的应用

探究1　在如图331所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|吗？

图331

【提示】　设A（0,0），B（a,0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c）．

∴|AC|＝

|BD|＝

故|AC|＝|BD|.

探究2　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：

|AM|＝

|BC|.

【提示】　以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为（b,0），（0，c），斜边BC的中点为M，

所以点M的坐标为

即

由两点间距离公式得

|BC|＝

故|AM|＝

　在△ABC中，AD是BC边上的中线．

求证：

|AB|2＋|AC|2＝2（|AD|2＋|DC|2）．

【精彩点拨】　

―→

【自主解答】　以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A（b，c），C（a,0），则B（－a,0）．

∵|AB|2＝（a＋b）2＋c2，

|AC|2＝（a－b）2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2（a2＋b2＋c2），

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2（|AD|2＋|DC|2）．

1．坐标法的定义：

通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．

2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：

（1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；

（2）用坐标表示有关的量；

（3）将几何关系转化为坐标运算；

（4）把代数运算结果“翻译”成几何关系．

3．用坐标法证明：

如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．

【证明】　取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．

设长方形ABCD的四个顶点为A（0,0），B（a,0），C（a，b），D（0，b），在平面上任取一点M（m，n），

则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋（m－a）2＋（n－b）2，

|BM|2＋|DM|2＝（m－a）2＋n2＋m2＋（n－b）2，

所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.

1．已知M（2,1），N（－1,5），则|MN|等于（　　）

A．5　　　　　　　　B.

D．4

【解析】　|MN|＝

【答案】　A

2．过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为（　　）

A．6　　　　　　　　　B.

C．2D．不能确定

【解析】　由kAB＝1，得

＝1，∴b－a＝1.

∴|AB|＝

【答案】　B

3．已知两条直线l1：

ax＋3y－3＝0，l2：

4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．

【解析】　l1与l2相交，则有

，∴a≠2.

【答案】　a≠2

4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则|AB|等于________.

【解析】　设A（x,0），B（0，y），∵AB的中点为P（2，－1），

∴

＝2，

＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A（4,0），B（0，－2），∴|AB|＝

【答案】　2

5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．

（1）平行于直线l1：

4x－2y－7＝0；

（2）垂直于直线l2：

3x－2y＋4＝0.

【解】　解方程组

得交点P（1,1）．

（1）若直线与l1平行，

∵k1＝2，∴斜率k＝2，

∴所求直线方程为y－1＝2（x－1），

即：

2x－y－1＝0.

（2）若直线与l2垂直，∵k2＝

∴斜率k＝－

∴所求直线方程为y－1＝－

（x－1），

2x＋3y－5＝0.

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