辽宁特殊教育师范高等专科学校单招数学模拟试题附答案解析Word文档格式.docx
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去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）9.4，0.484（B）9.4，0.016（C）9.5，0.04（D）9.5，0.016
（4）设、、为两两不重合的平面，、、为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，，，则；
③若，，则；
④若，，，，则．
其中真命题的个数是
（A）1（B）2（C）3（D）4
（5）设，则的展开式中的系数不可能是
（A）10（B）40（C）50（D）80
（6）若，则
（7）点在椭圆的左准线上．过点且方向为的光线，经过直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为
（8）四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的．现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为
（A）96（B）48（C）24（D）0
二．填空题：
本大题共有6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（1）命题“若，则”的否命题为▲．
（2）曲线在点处的切线方程是▲．
（3）函数的定义域为▲．
（4）若，，，则▲．
（5）已知、为常数，若，，则▲．
（6）在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值是▲．
三．解答题：
本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（7）（本小题满分12分）
如图圆与圆的半径都等于1，．过动点分别作圆、圆的切线、（、分别为切点），使得．试建立平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程．
（8）（本小题满分12分，每小问满分4分）
甲、乙各两人射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；
每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（Ⅰ）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（Ⅲ）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：
乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
（1）（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二、第三小问满分各4分）
如图，在五棱锥中，底面，，，．
（Ⅰ）求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求证平面；
（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角的大小（本小问不必写出解答过程）．
（2）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知，函数．
（Ⅰ）当时，求使成立的的集合；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．
（3）（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
设数列的前项和为，已知，，，且
，，
其中、为常数．
（Ⅰ）求与的值；
（Ⅱ）证明数列为等差数列；
（Ⅲ）证明不等式对任何正整数、都成立．
参考答案
本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
解析：
（1）．
（2）由已知得，，∴，，即，因此所求的反函数为．
（3）设数列的公比为，则，∵，∴，这个方程的正根为，∴．
（4）取的中点，连结、，可证平面平面．作，垂足为，则平面．在中，，，，∴．
（5）由正弦定理得，，而，，∴，，∴．∴．
（6）抛物线的标准方程为，，准线方程为，，则由抛物线的定义得，，即．
（7）去掉一个最高分9.9和一个最低分8.4后，平均值为，方差为．
（8）在四个命题中，①、②是假命题，③、④是真命题．
（9）在的展开式中的系数为，其值分别为1，10，40，80，80，32．
（10）．
（11）首先，椭圆的左焦点关于直线的对称点为，则，由，，得．故，离心率．
（12）记四棱锥为，首先必须存放在4个不同的仓库，每个仓库不可能存放3种或3种以上的化工产品，所以每个仓库恰好存放2种化工产品，方案只有和两种.因此，安全存放的不同方法种数为．
本题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
（13）若，则．（14）．（15）．
（16）．（17）2．（18）．
（13）“若则”的否命题是“若则”．
（14），在点处的切线的斜率为4，切线方程为，即．
（15）由，得，解得，或．
（16）∵，即，∴．因此，．
（17）对比和可知，或，令，得.
（18），当且仅当为的中点时取等号．
（19）本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力．满分12分．
解：
如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则两圆心分别为．设，
则，
同理．
∵，
∴，
即．
所以动点的轨迹方程为
．（或）
（20）本小题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）设事件{甲射击4次，至少1次未击中目标}，
则{甲射击4次，全部击中目标}．
．
答：
甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为．
（Ⅱ）事件{甲射击4次，恰好2次击中目标}，{乙射击4次，恰好3次击中目标}，则．
答：
两人各射击4次，甲恰好2次击中目标且乙恰好3次击中目标的概率为．
（Ⅲ）事件{乙恰好射击5次后，被中止射击}＝{乙射击5次，前2次至少1次击中目标，第3次击中目标，后2次未击中目标}．
乙恰好射击5次后，被中止射击的概率为．
（21）本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分14分．
（Ⅰ）连结，由，，由图形的对称性可知，
四边形是等腰梯形，，
∴即为异面直线与所成的角．
∵平面，，
∴，，．
在，
∵，，
∴．
∴，．
因此，异面直线与所成的角的．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四边形是等腰梯形，是等腰三角形，
∴五边形是轴对称图形，
∴，即．
又∵平面，∴．而，
∴平面．
（Ⅲ）二面角的大小为．（提示：
作出二面角的平面角．）
（22）本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力．满分14分．
（Ⅰ）当时，．方程即为
或或或或．
因此，方程的解集为．
（Ⅱ）首先恒成立．
①若，则在区间上，当时，取最小值0；
②若，则在区间上，，，即在区间上是增函数，其最小值为；
③若，则在区间上，，．
若，则在区间上是增函数，在区间上是减函数，其最小值为与的较小者．
∴若，则在区间上，的最小值为；
若，则在区间上，的最小值为；
若，则在区间上是增函数，其最小值为．
综上所述，函数在区间上的最小值为
．
（23）本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）由，，，得，，．
把分别代入，得
解得，，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即
，①
又．②
②-①得，，
即．③
又．④
④-③得，，
∴，又，
因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．考虑
即，∴．
因此，．
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