高中数学专题10解密函数中的恒成立与能成立问题特色训练新人教A版选修Word格式.docx
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【答案】C
【解析】∵，
∴。
∵函数在单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立。
令，则，
∴当时，单调递增，
当时，单调递减。
选C。
点睛：
函数的单调性与导函数的关系
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．
4．【云南省昆明市高新技术开发区xx届高考适应性月考】设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（）
5．【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】当时，，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B
二、解答题
6．【上海市复旦大学附属中学xx届高三上学期第一次月考】已知函数；
（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；
（2）是否存在，使得成立？
若存在，求出，若不存在，说明理由；
【答案】
（1）；
（2）不存在；
【解析】试题分析：
（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；
（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在.
7．【安徽省阜阳市临泉县第一中学xx届高三上学期第二次模拟】已知函数为常数，.
（1）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
（2）的取值范围是
（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；
（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.
所以在上单调递增，所以
问题等价于对任意，不等式成立
设，
则
当时，，所以在区间上单调递减，此时
所以不可能使恒成立，故必有，因为
若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求
若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.
本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.
8．【甘肃省会宁县第一中学xx届高三上学期第三次月考】设函数，其中为实数．若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
在上是单调减函数等价于在上恒成立，利用分离参数可得的范围，对进行求导，，将导函数的零点和1进行比较，可分为和两种情形，通过导数判断单调性.
本题主要考查了导数在函数中的应用之导数与单调性的关系，导数与最值的关系，属于基础题；
函数在某区间内单调递减等价于该函数的导数在该区间内小于等于0恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
9．【河南省郑州市第一中学xx届高三上学期期中】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明：
.
（1）见解析；
（2）；
（3）见解析.
（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；
（2）由
（1）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由
（1）可得，即可求出的取值范围；
（3）由
（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.
（2）由
（1）知，时，不可能成立；
若，恒成立，，得
综上，.
（3）由
（2）知，当时，有在上恒成立，即
令，得，即
，得证.
（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；
（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；
（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.
10．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学xx届高三10月月考】已知函数.
（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围.
（1）；
（2）.
（1）对函数f（x）进行求导，令导在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数图象与x轴的交点的问题．
，，，
，得则.
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
11．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学xx届高三上学期两校期中联考】已知函数，函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若，求证不等式.
（1）g（x）的增区间，减区间;
（2）;
（Ⅱ）即在上恒成立
设，考虑到
，在上为增函数，，
当时，，在上为增函数，恒成立
当时，，在上为增函数
，在上，，递减，
，这时不合题意，综上所述，
这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。
恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。
12．【北京市朝阳区xx届高三上学期期中统一考试】已知函数，．
（Ⅱ）当时，若函数在区间内单调递减，求的取值范围.
（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）.
（1）求导，对k分类讨论，得到函数的单调区间；
（2）函数在区间内单调递减，即不等式在在上成立，利用二次函数的图象与性质，易得的取值范围.
试题解析：
（Ⅰ）函数的定义域为.
（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数.
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.
（Ⅱ），
因为函数在内单调递减，所以不等式在在上成立.
设，则即解得.
13．【江西省南昌市南昌县莲塘一中xx届直升班周末练试卷】已知函数，其中.
（1）设是的导函数，求函数的极值；
（2）是否存在常数，使得时，恒成立，且有唯一解，若存在，求出的值；
若不存在，说明理由.
（1）极大值为，没有极小值；
（2）.
（1）求导，求得，（）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数的极值；
（2）由
（1）可知：
必然存在，使得在单增，单减，且，求得的表达式，存在使得，代入即可求得，即可求得的值．
将①式带入知：
得到，从而.
本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，不等式恒成立，考查转化思想，任意时，恒成立，且有唯一解，转化为找实数使得.
14．【四川省宜宾市高xx届高三（上）半期】已知函数的图象经过点，且在取得极值．
（I）求实数的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
（1）
（2）
【解析】试题分析:
（1）的图象经过点，;
即,解方程组得出a,b的值;
（2）由题意可得,,即和是函数的极值点,函数在区间上不单调,则解出m的范围即可.
（2）由得：
令
当
当
∵函数在区间上不单调
15．【重庆市第一中学xx届高三上学期期中】已知函数.
（1）若有三个极值点，求的取值范围；
（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：
（1）的取值范围为；
（2）见解析.
（1）若有三个极值点，只需应有两个既不等于0也不等于的根；
（2）恒成立即.变量分离，转化为函数最值问题.
而时，，时，，
要有两根，只需，由
，又由，
反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于.
在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点.
综上，的取值范围为.
只需证明，显然成立.
下证：
，，，，
先证：
，，
，.
令，，
，，，∴在上单增，
∴，∴在上单增，∴，∴在上单增，
∴，即证.
要证：
，.
只需证，
，
而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.
第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点。
第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a满足的表达式，再求这个表达式的范围。
16．【黑龙江省大庆实验中学xx届高三上学期期中考】已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
（1）的增区间为，无减区间；
（2）
（1）给定函数表达式研究函数的单调区间，直接求导g（x）=f′（x）=2（ex﹣x﹣1），研究导函数的正负即可；
（2）恒成立求参的问题，变量分离，让左端小于等于右端的最小值即可，而右端
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