最新数字滤波器设计方法的选择及s平面到z平面映射离散化方法的比较Word文件下载.docx

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在毕业论文的设计过程中，针对我的课题研究，我发现，现阶段好多学生在数字信号处理方面，关于滤波器设计方法的选择和离散化方法存在训多不理解，为此，在主要参考了《数字信号处理教程（第二版）》、《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现（第2版）》和《数字滤波器设计及工程应用》后，针对这一问题，我进行了一下总结，写出该文献综述，希望对学习数字信号处理的学生们有所帮助。

该综述主要讲述了常见模拟原型滤波器的设计、模拟域和数字域的映射方法和模拟域和数字域的频带变换法，着重对滤波器设计方法的选择作了分析，并且比较了模拟域和数字域的映射方法即S-Z离散化。

2正文

滤波器可广义的理解为一个信号选择系统，它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。

在更多的情况下，滤波器可理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。

当然我们无法做到理想情况下的低通、高通、带通、带阻，这样对于设计滤波器我们边有一个设计目标或者说设计指标。

以低通滤波器为例，数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应、以及系统函数等表示。

2.1数字滤波器的性能指标

在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。

以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。

在通带内：

在阻带中：

其中为通带截止频率,为阻带截止频率，为通带误差,为阻带误差。

图2-1低通滤波器频率响应幅度特性

与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为。

各种理想数字滤波器的幅度频率响应如图2-2所示：

图2-2各种理想数字滤波器的幅度频率响应

2.2数字滤波器设计的基本步骤

不论是IIR滤波器还是FIR滤波器的设计都包括三个步骤：

（1）按照实际任务的要求，确定滤波器的性能指标。

（2）确定了技术指标后，用一个因果、稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能指标。

（3）性能分析和计算机仿真。

通过以上三步，利用有限精度算法实现系统函数，根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；

或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。

2.3IIR数字滤波器的设计原理

IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。

IIR数字滤波器可用一个n阶差分方程：

（2-1）

或系统函数：

（2-2）

来表示。

对照模拟滤波器的传递函数：

（2-3）

可以看出，数字滤波器和模拟滤波器的设计思路相仿，其实质也是寻找一组系数，去逼近所要求的频率响应，使其在性能上满足预定的技术要求；

不同的是模拟滤波器的设计是在平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性，而数字滤波器则是在平面寻找合适的。

数字滤波器设计的关键是将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器，即利用映射将模拟滤波器离散化。

IIR数字滤波器的设计步骤是：

（1）按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；

（2）根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器；

（3）在按一定规则将转换为。

若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：

（4）将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤

（2）设计出模拟低通滤波器，再由冲击响应不变法或双线性变换将转换为所需的。

其步骤框图如图（2-3）：

图2-3数字滤波器设计步骤

2.3.1巴特沃斯模拟低通滤波器

巴特沃斯滤波器（Butterworth）的逼近又称最平幅度逼近，其特点是具有通带内最大平坦的振幅特性，且随的单调递增，幅频特性单调递减。

其幅度平方函数为：

（2-4）

为正整数，代表滤波器的阶次，如图2-4所示：

图2-4巴特沃斯滤波器振幅平方特性

图2-4中，增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。

不管为多少，所有的特性曲线都通过点，或说衰减，这就是不变性。

幅度平方函数的极点分布：

（2-5）

可见，Butterworth滤波器的幅度平方函数有个极点，它们均匀对称地分布在的圆周上。

低通滤波器的系统函数是由平面左半部分的极点（，，）组成的，它们分别为：

（2-6）

系统函数为：

（2-7）

令，得到归一化方程，去归一化的系统函数为：

（2-8）

2.3.2切比雪夫模拟低通滤波器

针对巴特沃斯低通滤波器的幅频特性随的增加而单调下降，当较小时，阻带幅频特性下降较慢，要想使其幅频特性接近理想低通滤波器，就必须增加滤波器的阶数，这就将导致模拟滤波器使用的原件增多，线路趋于复杂，切比雪夫（chebyshev）滤波器的阻带衰减特性则有所改善。

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，需要的阶次很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的。

切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。

切比雪夫滤波器的幅度平方函数为：

（2-9）

切比雪夫滤波器的幅度响应为：

（2-10）

当，为偶数时，；

为奇数时，。

图2-5切比雪夫滤波器的振幅平方特性

设计切比雪夫模拟低通滤波器，一般是给定通带截止频率，阻带起始截止频率，通带最大衰减（分贝），阻带最小衰减（分贝），求。

设计过程为：

1、求。

2、求滤波器阶数。

3、求滤波器系统函数。

由于已经知道、、，故可求出。

2.3.3离散化方法

的离散化方法即模拟域和数字域的映射方法有：

冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等，本节是在已知模拟滤波器系统函数的条件下，介绍由变换成相应数字滤波器的系统函数的两种方法。

1、冲激不变响应法

冲激不变响应法是使数字滤波器的单位冲激响应序列模仿模拟滤波器的单位冲激响应。

将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使正好等于的抽样值，即

（2-11）

其中是抽样周期。

令是的拉普拉斯变换，为的变换，利用抽样序列的变换与模拟信号的拉普拉斯变换关系，得：

（2-13）

则可看出，冲激响应不变法将模拟滤波器的平面变换成数字滤波器的平面，这个从到的变换正是拉普拉斯变换。

数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为

（2-14）

但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。

优缺点：

冲激响应不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系。

但是，因为有频率响应混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。

2、双线性变换法

冲激响应不变法和阶跃响应不变法从平面到平面的多值映射关系，造成了混频响应的混叠失真，为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。

双线性变换法为了克服多值映射这一缺点，首先把整个平面压缩变换到某一中介的平面的一条横带（宽度为,即从到）,然后再利用的关系把平面上的这条横带变换到整个平面，这样就使平面与平面是一一对应关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象。

将平面整个轴压缩变换到平面轴上的到一段，解析到整个平面和平面，再将平面通过以下标准变换关系映射到平面，从而得到平面和平面的单值映射关系为：

（2-15）

（2-16）

这就是平面与平面间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。

双线性变换的最大优点就是避免了频率响应的混叠现象。

但是，它又产生了新的问题，除了在零频率附近，角频率和数字频率的变换关系接近于线性关系外，当增加时，变换关系就是非线性的了，也就是角频率和数字频率之间存在着严重的非线性关系。

2.4FIR数字滤波器的设计原理

IIR滤波器的优点是可利用模拟滤波器设计的结果，缺点是相位是非线性的，FIR滤波器的优点是可方便地实现线性相位。

设FIR滤波器的单位冲激响应为有限长的,系统函数为：

（2-17）

在有限平面内有阶极点，在原点处，有个零点位于有限平面的任何位置。

如果FIR滤波器的单位抽样响应在对称中心在处，则这种FIR滤波器就具有严格线性相位。

2.4.1窗函数设计法

先给定所要求的理想滤波器频率响应，由的傅里叶反变换导出，理想滤波器的冲击响应是无限长的非因果序列，而我们要设计的是有限长的FIR滤波器，所以要用有限长序列来逼近无限长序列。

窗函数就是矩形序列,加窗后根据频域卷积定理可得：

（4-13）

通过频域卷积过程的幅度函数的起伏现象,可知,加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：

（1）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，其宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度。

（2）在截止频率的两边的地方即过渡带的两边，出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡。

（3）改变，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变的坐标比例以及改变的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例（此比例由窗函数的形状决定）。

2.4.2频率采样法

窗函数设计法是从时域出发，把理想的用一定形状的窗函数截取成有限长的，来近似理想的，这样得到的频率响应逼近于所要求的理想的频率响应。

频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应加以等间隔抽样得到，然后以此作为实际FIR滤波器的频率特性的抽样值。

知道后，由DFT定义可唯一确定有限长序列，利用这个频域抽样值同样利用频率内插公式可得FIR滤波器的系统函数，及频率响应：

（2-18）

比较频率抽样的优缺点：

优点：

可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计。

缺点：

抽样频率只能等于的整数倍，或等于的整数倍加上，不能确保截止频率的自由取值，要要实现自由选择截止频率，必须增加抽样点数，但这又使计算量增大。

2.5IIR滤波器设计与FIR滤波器设计的比较

选择哪一种滤波器决定于每种类型滤波器的优点在设计中的重要性，现将两种滤波器特点比较分析如下：

（1）选择数字滤波器是首先考虑经济问题，通常将硬件的复杂性、芯片的面积或计算速度等作为衡量经济问题的因素。

在相同的技术指标要求下，由于IIR数字滤波器存在输出对输入的反馈，因此可以用较少的阶数来满足要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。

（2）在很多情况下,FIR数字滤波器的线性相位与它的高阶数带来的额外成本相比是非常值得的。

对于IIR滤波器，选择性越好，其相位的非线性越严重。

如果要使IIR滤波器获得线性相位，又满足幅度滤波器的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这同样将大大增加滤波器的阶数。

就这一点来看，FIR滤波器优于IIR滤波器。

（3）FIR滤波器主要采用非递归结构，因而无论是理论上还是实际的有限精度运算中他都是稳定的，有限精度运算误差也较小。

IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须在平面单位圆内才能稳定，对于这种结构，运算中的舍入处理有时会引起寄生振荡。

（4）对于FIR滤波器，由于冲激响应是有限长的，因此可以用快速傅里叶变换算法，这样运算速度可以快得多。

IIR滤波器不能进行这样的运算。

（5）从设计上看，IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式、数据和表格，可以用完整的设计公式来设计各种选频滤波器。

一旦选定了已知的一