全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷Word格式.docx
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（本题满分16分）数列
an满足a13,对任意正整数m,n,均有amnaman2mn
（1）求an的通项公式;
i1a.
10:
（本题满分
20分）
设a1，a2,a3,a4为四个有理数,
使得:
31-
24,2,-,-,1,3，求为
28
11：
22
xy
已知椭圆二一1（ab
ab
0）的右焦点为F（c,0）,存在经过点F
的一条直线l交椭圆于
A,B两点，使得OAOB,求该椭圆的离心率的取值围
a,b,c都有:
（加试）
（本题满分40分）证明：
对任意三个不全相等的非负实数
（abc）2（bac）2（cab）2
（ab）2（bc）2（ca）2
1
1,并确定等号成立的充要条件
2
40分）如图，在等腰
ABC中，ABAC,设I为其心，设D为ABC的
一个点，满足
I,B,C,D四点共圆,
过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E
求证：
CD2
BDCE
（本题满分50分）证明：
存在无穷多个正整数组（a,b,c）（a,b,c2015）满足:
abc1,bac1,cab1
（本题满分50分）给定正整数m,n（2mn）,设a1,a2,,am是1,2,,n中任取m个
互不相同的数构成的一个排列，如果存在k1,2,,m使得akk为奇数，或者存在整数
k,l（1klm）,使得ak句，则称a®
,am是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。
2015年全国局中数学联赛（B卷）解答
（一试）
三、填空题（每个小题8分，满分64分
1,已知函数f（x）axx[0,3],其中a为常数，如果f
（2）f（4）,则a的取
值围是.
答案：
（-2,+8）.解：
f
（2）a2,f（4）2a，所以a22a，解得：
a2.
2.已知yf（x）x3为偶函数，且f（10）15,则f（10）的值为.
2015.解：
由己知得f（10）（10）3f（10）103，即£
（10）f（10）2000=2015.
3.某房间的室温T（单位：
Tasintbcost,t（0,），其中a,b为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，
则ab的最大值是.
5J2.解：
由辅助角公式：
Tasintbcost4a—b2sin（t），其中满足
条件sin/2b2,cos22a2，贝U函数T的值域是[4a—b2,Va2—b^]，室
.■a2b2.-a2b2
最大温差为2ja2b210,得Ja2b25.
故ab12（a2b2）5J2,等号成立当且仅当ab5J2.
4.设正四棱柱ABCDAB1c1D1的底面ABCD是单位正方形，如果二面角A1BDC1的
大小为一，则AA1.
乎.解：
取BD的中点O,连接OA,OA1,OC1.
则/A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此/A1OC1=—,
又△OA1C1是等边三角形.故A1O=A1C1=J2，所以
AAAO2AO2，（.2）2（j2
5.已知数列an为等差数列，首项与公差均为正数，且a2,a5,a9依次成等比数列，则使得
4d,a9a18d.因为
（a14d）.化简上式得
34.解：
设数列an的公差为d,则a2a1d,a5a1
2一…一一…
a2,a5,a9依次成等比数列，所以a2a9a5，即⑶d）（a18d）
到：
a1d8d.又d0，所以a18d
B（x,y）kxyk30，若AB是单元集，则k的值为
P（-1,3）
2J3.解：
点集A是圆周:
（x1）2（y1）22,点集B是恒过点
的直线l:
y3k（x1）及下方（包括边界）.作出这两个点集知,
当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线.故圆
的圆心M（1,l）到直线l的距离等于圆
|k1k3|
、k2
J2.结合图像，应取较小根
k2技
7.设P为椭圆上
4
1上的动点，点A（1,1）,B（0,1）,则PA
PB的最大值为
5.解：
取F（0,l）,则F,B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4.因此，|PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|04+|FA|=4+l=5.
当P在AF延长线与椭圆的交点（一,1）时，|PA|+|PB|最大值为5.
8.正2015边形则OA；
OA：
|
答案-671.解:
A1A2A2015接于单位圆O,任取它的两个不同顶点Ai,Aj,
1的概率为
故
OAiOAj
因为|
加
|1,所以
1的充分必要条件是cos
2
2（1cos
oAR
OAf,OAj的夹角
不超过
对任意给定的向量及，满足条件OAiOajI1的向量可的取法共有:
32015
21342种，故OAiOAj
四、解答题
9.（本题满分16分）数列
（3）
求an的通项公式;
如果存在实数c使得
an1
a1
因此
（l）在amn
an2na
am
an
1的概率是:
20151342
p
20152014
671
1007
an满足a13,对任意正整数m,n,
k1
1c对所有正整数k都成立，求
均有amnaman
c的取值围.
2mn
i1a；
an2mn中令m1可以得到an的递推公式：
n（3
an的通项公式为:
n1
a1（32k）
[5（2n1）]（n1）
n（n2）.8分
（事实上，对这个数列
a11
amn
所以an
（mn）（m
an2mn.
n（n2）
2）
（mn）
3,并且
2（mn）（m2m）2（n2n）2mn
（2）注意到:
是数列
an的通项公式.
1（1n（n2）2n
n12门n
故—
n1an
k1（1
12n
3-
—,并且
10.（本题满分
眄1ij
解：
由条件可知,
11
-（1-
1k
11311
）——（
k1k242k1
设a1,a2,a3,a4为四个有理数,
31,、
24,2,-,-,1,3,求为
一，，一一3
c的取值围是c[
a2a3a4的值.
）.16分
aiaj（1ij4）是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数,
由此知，a1，a2,a3,a4的绝对值互不相等，
|aj|aj|（1
两个数分别是
ij4）中最小的与次小的两个数分别是
|a311a41及|a211a41,从而必须有
不妨设|a1||a211a311a4|,则|a111a21及|a111a31,最大与次大的
a®
a3a4
日
a2
8,
1,
3,
24,
8a1
10分
故{a2a3,a〔a4}
一冏
2_
/24a1}
24a1.
2,
结合a1Q,只可能a1
，一"
1
由此易知，阚，a2
2,a3
4,a4
6或者a1
4,a2
检验知这两组解均满足问题的条件.
20
11.（本题满分20分）已知椭圆
yy1（ab0）的右焦点为
F（c,0）,存在经过点F
的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OAOB,求该椭圆的离心率的取值围.
设椭圆的右焦点F的坐标为（c,0）.显然l不是水平直线，设直线l的方程为xkyc,点A、B的坐标分别为（X1,y1），（x2,yz）.将直线l的方程与椭圆方程联立，
消去x得（b2k2
a2）y224kb2cyb2（c2
24kb2c
y〔y2
VN2
222,
bka
222
b（c2a）
b4
由韦达定理
gy〔y2（ky
（k21）（/・kc（
bk
c）（ky2c）
_2
24kbc
2.22）
2.
a
%y2（k2
2kb
c-
1）y-y2kc（y〔y）c
22.4
acb
2—21.5分
因为OA
OB等价于
0,故由上式可知，存在满足条件的直线
l,等价于存
在实数k,使得
0,k2
22,4
~22~
b（1c）
显然存在k满足①等价于a2c2b4
又b2a2c2,所以②等价于
0.②15分
a2c2（a2c2）20,两边除以a4得到
cc2222
—（1—）0,即e（1e）0.
aa
51
由于e1,解得：
e[,1）.20分
加试
对任意三个不全相等的非负实数a,b,c都有:
（abc）2（bac）2（cab）21
1——,并确定等号成立的充要条件.
（ab）2（bc）2（ca）22
当a,b,c不全相等时，原不等式等价于
一2一2-2222
2（abc）2（bca）2（cab）（ab）（bc）（ca）.上式可化简为_22_22_22____-
2ab2bc2ca12abc2ab2bc2ca,即
2,2,
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