等差数列典型例题及分析必看Word文件下载.docx

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（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；

（2）同一数列中可以出现多个相同的数；

（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集（｛1，2，3，…，n｝）的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：

若a1适合an（n>

2）,则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：

an=a1+（n-1）d=d·

n+a1-d,an是关于n的一次式；

从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：

等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An2+Bn.

6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.

（1）指出这个数列的通项公式；

（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.

错解：

（1）an=3n+7;

（2）1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.

错因：

误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.

（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.

正解：

（1）an=3n－2;

（2）1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.

[例2]已知数列的前n项之和为①②

求数列的通项公式。

①

②

在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.

①当时，

当时，

经检验时也适合，

②当时，

∴

[例3]已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于。

S30=S10·

2d.d＝30，S40=S30+d=100.

将等差数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列误解为Sm,S2m,S3m成等差数列.

由题意：

得

代入得S40＝。

[例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；

因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;

bn=4n+27.

误认为

[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和；

由an0得n5

前5项为非负，从第6项起为负，

Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50（n5）

当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝

Sn=

一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前项和的公式吗？

解：

理由如下：

由题设：

得：

∴

[例7]已知：

（）

（1）问前多少项之和为最大？

（2）前多少项之和的绝对值最小？

解：

（1）∴

（2）

当近于0时其和绝对值最小

令：

即1024+

得：

∵∴

[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程的根。

（）

证明：

依题意

∵∴

∵

∴∴（获证）。

四、典型习题导练

1．已知，求及。

2．设，求证：

。

3.求和:

4.求和：

5.已知依次成等差数列，求证：

依次成等差数列.

6.在等差数列中，，则（ 

）。

A．72　　B．60　　C．48　　D．36

7.已知是等差数列，且满足，则等于________。

8.已知数列成等差数列，且，求的值。

4.2等比数列的通项与求和

1.等比数列：

一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．

2.等比中项：

若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ为ａ和ｂ的等比中项．

3.等比数列的前n项和公式：

1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.

2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.

4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.

5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.

6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q>

0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点.

7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。

[例1]已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。

A.等差数列　　　

B.等比数列　　

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列

（常数）

为等比数列，即B。

忽略了中隐含条件n＞1.

当n＝1时，a1=S1＝aq;

当n>

1时，

但

既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

[例2]已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于.

q2.q2＝7，q＝，S40=S30·

q=.

是将等比数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.

得，

S40=.

[例3]求和：

a+a2+a3+…+an.

a+a2+a3+…+an＝.

是

（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式

（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.

当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;

当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;

当a1时，a+a2+a3+…+an＝.

[例4]设均为非零实数，，

求证：

成等比数列且公比为。

证明：

证法一：

关于的二次方程有实根，

∴，∴

则必有：

，即，∴非零实数成等比数列

设公比为，则，代入

∵，即，即。

证法二：

∵

∴

∴，∴，且

∵非零，∴。

[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。

∵，∴前七项之积

[例6]求数列前n项和

①

②

两式相减：

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：

（1）第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？

（2）经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？

此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

（1）每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1=0.2（kg）,a2=×

0.2（kg）,a3=（）2×

0.2（kg）

由此可见：

an=（）n-1×

0.2（kg）,a5=（）5-1×

0.2=（）4×

0.2=0.0125（kg）。

（2）由

（1）得{an}是等比数列a1=0.2,q=

答：

第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；

6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

1.求下列各等比数列的通项公式：

1）a1=-2,a3=-8

2）a1=5,且2an+1=-3an

3）a1=5,且

2.在等比数列，已知，，求.

3.已知无穷数列，

（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

4.设数列为求此数列前项的和。

5.已知数列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an,Sn

6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？

7.在等比数列中，，求的范围。

4.3数列的综合应用

1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2.应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：

（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；

（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；

（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；

增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；

若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.

1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；

2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；

3.等差数列中,am=an+（n－m）d,;

等比数列中，an=amqn-m;

4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛an｝有：

am+an=ap+aq；

对等比数列｛an｝有：

aman=apaq；

5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}（k、b是非零常数）是等差数列；

若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；

6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；

7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；

项数为2n－1时，S奇－S偶＝a