四年级奥数教程文档格式.docx

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练习27+42+63

例2．

（1）673+288

（2）9898+203

（3）786-109

练习9874+987136-96

718-162-238659-487-113185-（85+17）

（1）296+31-196

（2）521-136-221练习761+299-561

例3．

（1）88-（47-12）

（2）376-（176-97）

（3）347+（153-129）（4）268+（317-168）

练习516-56-44-43-575723-（723-189）+576-（276-211）

例4计算9＋99＋999＋9999＋99999

解：

在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.

练习计算199999＋19999＋1999＋199＋19

此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）

例5计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）

练习计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388

第二讲巧算

（二）

这一讲我们学习乘法、除法的巧算方法，这些方法主要根据乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将因数（或被除数、除数）转化成整百、整千的数，或者使算式中的一些数变得易于心算，从而简化计算。

例1．25×

5×

64×

125

练习

（1）75×

16

（2）25×

24（3）125×

16

（4）75×

16125×

15×

8×

4

例2．

（1）125×

（10+8）

（2）（20-4）×

25

练习4004×

25

例3．

（1）146×

31÷

73×

75

（2）1248÷

96×

24

练习1000÷

（125÷

4）

例4．625÷

练习

（1）58500÷

900

（2）（360+108）÷

36（3）1÷

2+3÷

2+5÷

2+7÷

2

（4）（720+96）÷

24（5）（4500－90）÷

45

例5（350+165）÷

5

练习

（1）（702-213-414）÷

3

（2）158×

61÷

79×

（3）238×

36÷

119×

5（4）138×

27÷

69×

50

（5）103×

96÷

16（6）200÷

（25÷

第三讲等差数列

　　许多同学都知道这样一个故事：

大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？

当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.

例1什么叫等差数列呢？

我们先来看几个例子：

　　①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…

　　②1，3，5，7，9，11，13.

　　③2，4，6，8，10，12，14…

　　④3，6，9，12，15，18，21.

　　⑤100，95，90，85，80，75，70.

　　⑥20，18，16，14，12，10，8.

　　这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：

　　数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；

　　数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；

　　数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；

　　数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.

　　下面的数列中，哪些是等差数列？

若是，请指明公差，若不是，则说明理由.

　　①6，10，14，18，22，…，98；

　　②1，2，1，2，3，4，5，6；

　　③1，2，4，8，16，32，64；

　　④9，8，7，6，5，4，3，2；

　　⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

　　⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an。

an又称为数列的通项，a1；

又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.

得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×

项数÷

2，

项数=（末项-首项）÷

公差+1，

末项=首项+公差×

（项数-1）

二、通项公式

对于公差为d的等差数列a1，a2来说，如果a1；

小于a2，则

由此可知：

（1），若a1；

大于a2，则同理可推得：

（2）

公式

（1）

（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.

例2求等差数列1，6，11，16…的第20项？

.

练习求等差数列3，7，11，15，…的第25项是多少？

例3已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？

练习已知等差数列4，6，8，10，12，…，问104是其中的第几项？

例4如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.

　　分析与解答

　　方法1：

要求第8项，必须知道首项和公差.

三、等差数列求和

　　若a1小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为

　　a1,a1+d,a1+d×

2，…，a1+d×

（n-1）.所以，容易知道：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2

　　=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.

　　设Sn=a1+a2+a3+…+an

　　则Sn=an+an-1+an-2+…+a1

　　两式相加可得：

　　2×

Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）

　　即：

2×

Sn=n×

（a1+an）,所以，

　　例5计算1+5+9+13+17+…+1993.

　　当a1；

大于a2。

时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.

练习计算3+5+7+9+…+645

第四讲倒推法的妙用

对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。

这种解题方法叫做还原法或逆推法、倒推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。

例1一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：

“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？

　　分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.

　　如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：

一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？

　　把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：

　　｛［（□－8）＋10］÷

7｝×

4＝56.

　　通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：

　　①从结果出发，逐步向前一步一步推理.

　　②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.

③列式时注意运算顺序，正确使用括号.

练习1、有一位老人说：

“把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。

”这位老人有多少岁呢？

练习2、有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。

问：

这个数是几？

　　分析：

这个问题是由

　　（□×

4—46）÷

3—10＝4，

例2马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？

　　分析马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.

　练习小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。

正确的结果应是多少？

利用还原法。

例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；

从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：

原来每棵树上各落多少只鸟？

　　分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷

3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.

练习学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。

最初乐乐拿了多少棵树苗？

例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：

篮子里原有梨多少个？

　　分析依题意，画图进行分析.

练习甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。

甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

分析与解：

尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷

3＝30（本）。

根据题目条件，原来各组的图书为

例5甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；

然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：

售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

　　分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×

2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.

练习菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？

　　分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.

第五讲找规律

　　我们在三年级已经见过“找规律”这个