四年级奥数教程文档格式.docx
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练习27+42+63
例2.
(1)673+288
(2)9898+203
(3)786-109
练习9874+987136-96
718-162-238659-487-113185-(85+17)
(1)296+31-196
(2)521-136-221练习761+299-561
例3.
(1)88-(47-12)
(2)376-(176-97)
(3)347+(153-129)(4)268+(317-168)
练习516-56-44-43-575723-(723-189)+576-(276-211)
例4计算9+99+999+9999+99999
解:
在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
练习计算199999+19999+1999+199+19
此题各数字中,除最高位是1外,其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如199+1=200)
例5计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
练习计算389+387+383+385+384+386+388
第二讲巧算
(二)
这一讲我们学习乘法、除法的巧算方法,这些方法主要根据乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律,通过对算式适当变形,将因数(或被除数、除数)转化成整百、整千的数,或者使算式中的一些数变得易于心算,从而简化计算。
例1.25×
5×
64×
125
练习
(1)75×
16
(2)25×
24(3)125×
16
(4)75×
16125×
15×
8×
4
例2.
(1)125×
(10+8)
(2)(20-4)×
25
练习4004×
25
例3.
(1)146×
31÷
73×
75
(2)1248÷
96×
24
练习1000÷
(125÷
4)
例4.625÷
练习
(1)58500÷
900
(2)(360+108)÷
36(3)1÷
2+3÷
2+5÷
2+7÷
2
(4)(720+96)÷
24(5)(4500-90)÷
45
例5(350+165)÷
5
练习
(1)(702-213-414)÷
3
(2)158×
61÷
79×
(3)238×
36÷
119×
5(4)138×
27÷
69×
50
(5)103×
96÷
16(6)200÷
(25÷
第三讲等差数列
许多同学都知道这样一个故事:
大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余,有没有仔细想一想,高斯为什么算得快呢?
当然,小高斯的聪明和善于观察是不必说了,往深处想,最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1,即它们构成了差相等的数列,而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习,我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.
例1什么叫等差数列呢?
我们先来看几个例子:
①l,2,3,4,5,6,7,8,9,…
②1,3,5,7,9,11,13.
③2,4,6,8,10,12,14…
④3,6,9,12,15,18,21.
⑤100,95,90,85,80,75,70.
⑥20,18,16,14,12,10,8.
这六个数列有一个共同的特点,即相邻两项的差是一个固定的数,像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d表示,如:
数列①中,d=2-1=3-2=4-3=…=1;
数列②中,d=3-1=5-3=…=13-11=2;
数列⑤中,d=100-95=95-90=…=75-70=5;
数列⑥中,d=20-18=18-16=…=10-8=2.
下面的数列中,哪些是等差数列?
若是,请指明公差,若不是,则说明理由.
①6,10,14,18,22,…,98;
②1,2,1,2,3,4,5,6;
③1,2,4,8,16,32,64;
④9,8,7,6,5,4,3,2;
⑤3,3,3,3,3,3,3,3;
⑥1,0,1,0,l,0,1,0;
为了叙述和书写的方便,通常,我们把数列的第1项记为a1,第2项记为a2,…,第n项记为an。
an又称为数列的通项,a1;
又称为数列的首项,最后一项又称为数列的末项.
得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×
项数÷
2,
项数=(末项-首项)÷
公差+1,
末项=首项+公差×
(项数-1)
二、通项公式
对于公差为d的等差数列a1,a2来说,如果a1;
小于a2,则
由此可知:
(1),若a1;
大于a2,则同理可推得:
(2)
公式
(1)
(2)叫做等差数列的通项公式,利用通项公式,在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.
例2求等差数列1,6,11,16…的第20项?
.
练习求等差数列3,7,11,15,…的第25项是多少?
例3已知等差数列2,5,8,11,14…,问47是其中第几项?
练习已知等差数列4,6,8,10,12,…,问104是其中的第几项?
例4如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.
分析与解答
方法1:
要求第8项,必须知道首项和公差.
三、等差数列求和
若a1小于a2,则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为
a1,a1+d,a1+d×
2,…,a1+d×
(n-1).所以,容易知道:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2
=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.
设Sn=a1+a2+a3+…+an
则Sn=an+an-1+an-2+…+a1
两式相加可得:
2×
Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)
即:
2×
Sn=n×
(a1+an),所以,
例5计算1+5+9+13+17+…+1993.
当a1;
大于a2。
时,同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.
练习计算3+5+7+9+…+645
第四讲倒推法的妙用
对于有些问题,当顺着题目条件的叙述去寻找解法时,往往有一定的困难,但是,如果改变思考顺序,从问题叙述的最后结果出发,一步一步倒着思考,一步一步往回算,原来加的用减,减的用加,原来乘的用除,除的用乘,那么问题便容易解决。
这种解题方法叫做还原法或逆推法、倒推法,用还原法解题的问题叫做还原问题。
例1一次数学考试后,李军问于昆数学考试得多少分.于昆说:
“用我得的分数减去8加上10,再除以7,最后乘以4,得56.”小朋友,你知道于昆得多少分吗?
分析这道题如果顺推思考,比较麻烦,很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析,就像剥卷心菜一样层层深入,直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题:
一个数减去8,加上10,再除以7,乘以4,结果是56.求这个数是多少?
把一个数用□来表示,根据题目已知条件可得到这样的等式:
{[(□-8)+10]÷
7}×
4=56.
通过以上例题说明,用倒推法解题时要注意:
①从结果出发,逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中,每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序,正确使用括号.
练习1、有一位老人说:
“把我的年龄加上12,再用4除,再减去15后乘以10,恰好是100岁。
”这位老人有多少岁呢?
练习2、有一个数,把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后得4。
问:
这个数是几?
分析:
这个问题是由
(□×
4—46)÷
3—10=4,
例2马小虎做一道整数减法题时,把减数个位上的1看成7,把减数十位上的7看成1,结果得出差是111.问正确答案应是几?
分析马小虎错把减数个位上1看成7,使差减少7—1=6,而把十位上的7看成1,使差增加70—10=60.因此这道题归结为某数减6,加60得111,求某数是几的问题.
练习小马虎在做一道加法题目时,把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了3,结果得到的“和”是123。
正确的结果应是多少?
利用还原法。
例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上;
从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上,这时三棵树上鸟的只数相等.问:
原来每棵树上各落多少只鸟?
分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析,可得出现在每棵树上鸟的只数48÷
3=16(只).第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的,所以第三棵树上原落鸟16—6=10(只).同理,第二棵树上原有鸟16+6—8=14(只).第一棵树上原落鸟16+8=24(只),使问题得解.
练习学校运来36棵树苗,乐乐与欢欢两人争着去栽,乐乐先拿了若干树苗,欢欢看到乐乐拿得太多,就抢了10棵,乐乐不肯,又从欢欢那里抢回来6棵,这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。
最初乐乐拿了多少棵树苗?
例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问:
篮子里原有梨多少个?
分析依题意,画图进行分析.
练习甲、乙、丙三组共有图书90本,乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组拥有相等数目的图书。
甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书?
分析与解:
尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去,但图书的总数90本没有变,由最后三个组拥有相同数目的图书知道,每个组都有图书90÷
3=30(本)。
根据题目条件,原来各组的图书为
例5甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来,售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍;
然后从乙桶倒一部分给甲桶,使甲桶油也增加一倍,这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问:
售货员从两个桶里各卖了多少千克油?
分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×
2-14=16(千克).又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.
练习菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克,结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克?
分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图(见下图),使数量关系清晰的展现出来.
第五讲找规律
我们在三年级已经见过“找规律”这个