高考专题复习三角函数解三角形文档格式.docx

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3．任意角的三角函数

（1）定义：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝（x≠0）．

（2）几何表示：

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

（3）三角函数在各象限内的符号口诀是：

一全正、二正弦、三正切、四余弦．

[例1]　

（1）写出终边在直线y＝x上的角的集合；

（2）若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π）内终边与角的终边相同的角；

（3）已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．

:

在本例（3）的条件下，判断为第几象限角？

[例2]　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α＝60°

，R＝10cm，求扇形的弧长l；

（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

在本例

（1）的条件下，求扇形的弧所在的弧形的面积．

　[例3]　

（1）（2014·

嘉兴模拟）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.

（2）（2012·

山东高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为___________．

（3）（2014·

金华模拟）已知点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，则角θ是第________象限角．

变式训练

1．点P从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为（　　）

A.　　　B.C.D.

2．若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ＜0，则该三角形的形状为________．

3．若角α的终边过点P（－8m，－6sin30°

），且cosα＝－，则m的值为________．

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1.

（2）商数关系：

tanα＝.

2．三角函数的诱导公式

公式一：

sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cos_α，tan（α＋2kπ）＝tanα，其中k∈Z.

公式二：

sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α，tan（π＋α）＝tanα.

公式三：

sin（－α）＝－sin_α，cos（－α）＝cos_α，tan（－α）＝－tanα.

公式四：

sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cos_α，tan（π－α）＝－tanα.

公式五：

sin＝cos_α，cos＝sinα.

公式六：

sin＝cos_α，cos＝－sin_α.

考点一同角三角函数基本关系式的应用

[例1]　已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.

（1）求tanα的值；

（2）把用tanα表示出来，并求其值．

1．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（　　）

A.　　　B．－C．－2D．2

2．已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.

　[例2]　

（1）（2014·

杭州模拟）若cos＝－，则sin＝（　　）

A.　　　B．－　　　C.　　　D．－

（2）已知α为第三象限角，f（α）＝，

①化简f（α）；

②若cos＝，求f（α）的值．

已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝－，求sin（3π＋α）·

tan的值．

[例3]　

（1）（2013·

广东高考）已知sin＝，那么cosα＝（　　）

　　A．－B．－C.D.

（2）（2014·

金华模拟）已知sinα－cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝（　　）

A．－1B．－C.D．1

（3）（2014·

湖州模拟）若tanα＝3，则的值等于（　　）

A．2B．3C．4D．6

（4）（2013·

重庆高考）4cos50°

－tan40°

＝（　　）

A.B.C.D．2－1

1．在△ABC中，sin＝3sin（π－A），且cosA＝－cos（π－B），则C等于（　　）

A.B.C.D.

2．（2014·

丽水模拟）已知cosα是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，则＝（　　）

A.B．－C．－D.

第三节三角函数的图像与性质

1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

值域

最值

单调性

奇偶性

对称中心

对称轴

周期

考点一三角函数的定义域和值域（或最值）

[例1]　

（1）求函数y＝lg（sin2x）＋的定义域；

（2）求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．

（2014·

嘉兴模拟）已知向量a＝，b＝（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）＝a·

b.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在上的最大值和最小值．

[例2]　

（1）（2014·

新课标全国卷Ⅰ）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋，④y＝tan2x－中，最小正周期为π的所有函数为（　　）

A．①②③　　　　B．①③④C．②④D．①③

（2）（2013·

浙江高考）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝”的（　　）

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（3）（2012·

福建高考）函数f（x）＝sin的图象的一条对称轴是（　　）

A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－

1．函数y＝2sin（3x＋φ）的一条对称轴为x＝，则φ＝________.

2．函数y＝cos（3x＋φ）的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.

[例3]　

（1）（2014·

北京高考）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>

0，ω>

0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．

天津高考）已知函数f（x）＝cosx·

sinx＋－cos2x＋，x∈R.

①求f（x）的最小正周期；

②求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．

1．若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于（　　）

　　A．3B．2C.D.

2．求函数y＝tan的单调区间．

第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及三角函数模型的简单应用

1．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x

－

－＋

ωx＋φ

π

2π

y＝Asin（ωx＋φ）

A

－A

2．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）的图象的步骤

　　　法一　　　　　　　　　　　法二

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞））的物理意义

（1）振幅为A.

（2）周期T＝.（3）频率f＝＝.（4）相位是ωx＋φ.（5）初相是φ.

[例1]　已知函数y＝2sin.

（1）求它的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

（3）说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．

1．（2014·

浙江高考）为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象（　　）

A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位

2．把函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象表示的函数解析式为y＝sinx，则ω＝________，φ＝________.

　[例2]　

（1）（2014·

杭州模拟）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．2，－　　　B．2，－C．4，－D．4，

（2）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ），y＝f（x）的部分图象如图，则f＝（　　）

A．2＋　　　B.C.　　　D．2－

1．如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋2（A＞0，ω＞0）的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是（　　）

A．A＝3，T＝，φ＝－B．A＝1，T＝，φ＝

C．A＝1，T＝，φ＝－D．A＝1，T＝，φ＝－

2．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为________________．

安徽高考）若将函数f（x）＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）A.B.C.D.

辽宁高考）将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）

A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增

（3）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A>

0，－π<

φ≤π）在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为，求f（x）的解析式．

1．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（　　）

2．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象与y轴的交点为（0,1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0,2）和（x0＋2π，－2）．

（1）求f（x）的解析式及x0的值；

（2）求f（x）的增区间；

（3）若x∈[－π，π]，求f（x）的值域．

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin（α±

β）＝sin_αcos_β±

cos_αsin_β，cos（α±

β）＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β，tan（α±

β）＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sin_αcos_α，cos2α＝c