最新高等数学上册期末考试试题含答案AFFWord文件下载.docx

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则

故所求引力的大小为，方向自N点指向圆弧的中点。

5．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>

0求

d）星形线所围面积；

e）绕x轴旋转所得旋转体的体积；

f）星形线的全长．

（1）

．

（2）

（3）xt′=3acos2tsint

yt′=3asin2tcost

xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，

6．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：

E（a，h），D（A，0），于是得到ED所在的直线方程为：

（16）

对于任意的y∈[0，h]，过点（0，y）且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：

，同理可得该椭圆的另一半轴为：

．

故该椭圆面积为

从而立体的体积为

7．已知曲线f（x）=xx2与g（x）=ax围成的图形面积等于，求常数a．

如图13，解方程组得交点坐标为（0，0），（1a，a（1a））

∴

依题意得

得a=2．

（13）

8．求下列各曲线所围图形的面积：

（1）与x2+y2=8（两部分都要计算）；

如图D1=D2

解方程组得交点A（2，2）

∴,

（2）与直线y=x及x=2；

.

（3）y=ex，y=ex与直线x=1；

（3）

（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．（b>

a>

0）；

（4）

（5）抛物线y=x2和y=x22；

解方程组得交点（1，1），（1，1）

（5）

（6）y=sinx，y=cosx及直线；

（6）

（7）抛物线y=x2+4x3及其在（0，3）和（3，0）处的切线；

y′=2x+4．∴y′（0）=4，y′（3）=2．

∵抛物线在点（0，3）处切线方程是y=4x3

在（3，0）处的切线是y=2x+6

两切线交点是（，3）．故所求面积为

（7）

（8）摆线x=a（tsint），y=a（1cost）的一拱（0≤t≤2π）与x轴；

当t=0时，x=0,当t=2π时，x=2πa．

所以

（8）

（9）极坐标曲线ρ=asin3φ；

（9）

（10）ρ=2acosφ；

（10）

9．设y=f（x）在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，试问x=x0是否为极值点?

为什么？

又是否为拐点？

答：

因，且，则x=x0不是极值点.又在中，，故在左侧与异号，在右侧与同号，故在x=x0左、右两侧凹凸性不同，即是拐点.

10．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：

;

令

，

则曲线y=f（x）是凹的，因此，

即.

令f（x）=ex

则曲线y=f（x）是凹的，

令f（x）=xlnx（x>

0）

则曲线是凹的，，x≠y，有

即，

11．甲、乙两用户共用一台变压器（如13题图所示），问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？

所需电线为

13题图

在0<

x<

3得唯一驻点x=1.2（km），即变压器设在输电干线离A处1.2km时，所需电线最短.

12．已知a>

0，试证：

的最大值为.

当x<

0时，;

当0<

a时，;

此时令，得驻点，且，

当x>

a时，,

又，且.

而的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得

故.

13．设a为非零常数，b为正常数，求y=ax2+bx在以0和为端点的闭区间上的最大值和最小值.

得不可能属于以0和为端点的闭区间上,

而,

故当a>

0时，函数的最大值为，最小值为;

当a<

0时，函数的最大值为，最小值为.

14．将f（x）=2+|x|（-1≤x≤1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和.

f（x）在（-∞,+∞）内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f（x）是偶函数，故bn=0,（n=1,2,…）

，x∈[-1,1]

取x=0得，，故

15．设在上有阶连续导数，在内有阶导数，且试证：

在内至少存在一点，使.

首先，对在上应用罗尔定理，有，即，使得；

其次，对在上应用罗尔定理，有，即，使得一般地，设在内已找到个点其中使得，则对在上应用罗尔定理有使得.

16．利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:

证:

（1）,不妨设,则

故对所有正整数n有,即数列有上界.

又

显然有,又由得,从而即,

即数列是单调递增的.

由极限的单调有界准则知,数列有极限.

设,则,于是,（不合题意,舍去）,.

（2）因为,且,

所以,即数列有界

又

由知与同号，

从而可推得与同号，

而

故,即

所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.

设,则，

解得（不合题意，舍去）.

所以

17．设，且,在[a，b]内存在，证明：

在（a，b）内至少有一点，使.

在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使.

18．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：

（1）y=ax+b；

（其中a，b∈R，a≠0）

y′=a即为边际函数.

弹性为：

增长率为：

（2）y=aebx；

边际函数为：

y′=abebx

（3）y=xa

y′=axa－1.

19．求曲线y=lnx在与x轴交点处的曲率圆方程.

由解得交点为（1，0）.

故曲率中心

曲率半径为.

故曲率圆方程为：

20．求下列函数在处的三阶泰勒展开式：

⑴⑵

⑴

⑵

21．求次多项式的阶导数.

22．求下列隐函数的导数：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷；

⑸

⑴两边求导，得：

解得.

⑵两边求导，得：

⑶两边求导，得：

⑷两边求导，得：

⑸两边求导，得：

23．若，求.

24．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]内，转过角度，从而转角是t的函数：

.如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻的角速度？

设此角速度值为,则

25．怎样选取a,b的值，使f（x）在（－∞,+∞）上连续？

（1）在上显然连续，而

且,

∴当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.

（2）在内显然连续.而

∴当，即时，在处连续，因而在上连续.

26．当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续:

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

27．当时，无穷小量与是否同阶？

是否等价？

∴当时，是与同阶的无穷小.

∴当时，是与等价的无穷小.

28．当时，与相比，哪个是高阶无穷小量？

∴当时，是比高阶的无穷小量.

29．求下列极限：

（7）若，求a和b.

由无穷大与无穷小的关系知，.

30．试证明：

如果函数满足条件，那么这函数没有极值.

，令，得方程，

由于，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无