现代控制理论(浓缩版).doc
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绪论
1．经典控制理论与现代控制理论的比较。
经典控制理论也称为古典控制理论，多半是用来解决单输入-单输出的问题，所涉及的系统大多是线性定常系统，非线性系统中的相平面法也只含两个变量。
经典控制理论是以传递函数为基础、在频率域对单输入单输出控制系统进行分析和设计的理论。
它明显具有依靠手工进行分析和综合的特点，这个特点是与20世纪40~50年代生产发展的状况，以及电子计算机的发展水平尚处于初级阶段密切相关的。
在对精度要求不高的场合是完全可用的。
最大成果之一就是PID控制规律的产生，PID控制原理简单，易于实现，具有一定的自适应性与鲁棒性，对于无时间延时的单回路控制系统很有效，在工业过程控制中仍被广泛采用。
现代控制理论主要用来解决多输入多输出系统的问题，系统可以是线性或非线性的、定常或时变的。
确认了控制系统的状态方程描述法的实用性，是与状态方程有关的控制理论。
现代控制理论基于时域内的状态空间分析法，着重实现系统最优控制的研究。
从数学角度而言，是把系统描述为四个具有适当阶次的矩阵，从而将控制系统的一些问题转化为数学问题，尤其是线性代数问题。
而且，现代控制理论是以庞得亚金的极大值原理、别尔曼的动态规划和卡尔曼的滤波理论为其发展里程碑，揭示了一些极为深刻的理论结果。
面对现代控制理论的快速发展及成就，人们对这种理论应用于工业过程寄于乐期望。
但现代控制在工业实践中遇到的理论、经济和技术上的一些困难。
所以说，现代控制理论还存在许多问题，并不是“完整无缺”，这是事物存在矛盾的客观反应，并将推动现代控制理论向更深、更广方向发展。
如大系统理论和智能控制理论的出现，使控制理论发展到一个新阶段。
2．控制一个动态系统的几个基本步骤
有四个基本步骤：
建模，基于物理规律建立数学模型；系统辨识，基于输入输出实测数据建立数学模型；信号处理，用滤波、预报、状态估计等方法处理输出；综合控制输入，用各种控制规律综合输入。
第一章控制系统的状态空间表达式
１．状态空间表达式
n阶
A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点
①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：
a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器）
已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：
积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立
①由系统框图建立状态空间表达式：
a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积
分器的输出选作，输入则为；c由模拟图写出状态方程和输出方程。
②由系统的机理出发建立状态空间表达式：
如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL和KCL列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：
微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。
熟练使用梅森公式。
注意：
a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。
b模拟结构图的等效。
如前馈点等效移到综合反馈点之前。
p28
c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。
5．状态矢量的线性变换。
也说明了状态空间表达的非唯一性。
不改变系统的特征值。
特征多项式的系数也是系统的不变量。
特征矢量的求解：
也就是求的非零解。
状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：
主要是要先求出变换矩阵。
a互异根时，各特征矢量按列排。
b有重根时，设３阶系统，＝，为单根，对特征矢量，求法与前面相同，称作的广义特征矢量，应满足。
系统的并联实现：
特征根互异；有重根。
方法：
系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。
6．由状态空间表达式求传递函数阵
的矩阵函数［］ 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。
状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵是不变的。
子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵。
方法：
画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。
7．离散系统的状态空间表达式及实现（模拟结构图）
8．时变系统：
四个矩阵是时间t有关的。
非线性系统：
各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。
利用泰勒级数可以线性化。
第二章控制系统状态空间表达式的解
一．线性定常系统齐次状态方程（）的解：
二．矩阵指数函数——状态转移矩阵
1．表示到的转移。
5个基本性质。
2．的计算：
a定义；b变换为约旦标准型,
c用拉氏反变换记忆常用的拉氏变换对
d应用凯莱-哈密顿定理
三．线性定常系统非齐次方程（）的解：
。
可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。
求解步骤：
先求，然后将B和u（t）代入公式即可。
特殊激励下的解。
四．线性时变系统的解
１．状态转移矩阵用来表示。
２．的计算：
当时，；通常不等。
不满足乘法可交换条件时，一般采用级数近似法：
３．解为：
五．离散时间系统状态方程的解（递推法和Z变换法）
１．递推法
为状态转移矩阵；满足
解为，
直接计算有一定困难，可采用这样的步骤：
先将原状态方程化为约旦标准型，求变换矩阵T，，再求出，再得到。
当然，。
２．Z变换法 公式不用记忆，现推最好。
；可见＝z];
计算的用到的内容：
部分分式展开（先除z后乘z）；ZT对
六．连续时间状态空间表达式的离散化
１．定常系统的离散化
a. ；
b.近似离散化 即
２．时变系统的离散化 略
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
一．能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）
二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）
判别方法
（一）：
通过线性变换
１．若A的特征值互异，线性变换（）为对角线标准型，，能控性充要条件：
没有全为０的行。
变换矩阵T的求法。
２．若A的特征值有相同的，线性变换（）为约当标准型，，能控性充要条件：
①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的中最后一行元素没有全为０的。
②中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为０的。
变换矩阵T的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能控。
但线性变换比较复杂，关键是求、、。
判别方法
（二）：
直接从Ａ，Ｂ判别
能控的充要条件是 能控性判别矩阵的秩为n。
在单输入系统中，是一个的方阵；
而多输入系统，是一个的矩阵，可通过
三．线性定常系统的能观性判别
判别方法
（一）：
通过线性变换
１．若A的特征值互异，线性变换（）为对角线标准型，，能观性充要条件：
中没有全为０的列。
变换矩阵T的求法。
２．若A的特征值有相同的，线性变换（）为约当标准型，，能控性充要条件：
①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的中第一列元素没有全为０的。
②对应于互异特征根部分，对应的中各列元素没有全为０的。
变换矩阵T的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能观。
但线性变换比较复杂，关键是求、、。
判别方法
（二）：
直接从Ａ，C判别
能观性的充要条件是 能观性判别矩阵的秩为n。
在单输入系统中，是一个的方阵；
而多输入系统，是一个的矩阵，可通过
四．离散时间系统的能控性与能观性
能控性充要条件的秩为n。
能控性充要条件的秩为n。
五．时变系统的能控性与能观性（与定常系统不同）
１．在上状态能控的充要条件是格拉姆矩阵非奇异。
与一样么？
这种方法要求先计算出状态转移矩阵，如果无法写成闭解，则失去工程意义。
２．使用信息
，其中，
如果存在某个时刻，使得，则系统在上是状态完全能控的。
３．能观性判别与能控性类似，也可以使用格拉姆矩阵，但工作量太大。
可使用信息：
，其中，
如果存在某个时刻，使得，则系统在上是状态完全能观测的。
六．能控性与能观性的对偶原理
１．若，，，则与对偶。
对偶系统的传递函数阵是互为转置的。
且他们的特征方程式是相同的。
２．与对偶，则能控性等价于能观性，能观性等价于能控性。
时变系统的对偶原理？
？
？
？
七．能控标准型和能观标准型
对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。
１．能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）
①判别系统的能控性。
②计算特征多项式，即可写出。
③求变换矩阵，。
④求，计算，，也可以验证是否有。
２．能控标准Ⅱ型
①判别系统的能控性。
②计算特征多项式，即可写出。
③求变换矩阵。
④求，计算，，也可以验证是否有。
３．能观标准Ⅰ型
①判别系统的能观性。
②计算特征多项式，即可写出。
③求变换矩阵。
④求，计算，，也可以验证是否有。
４．能观标准Ⅱ型
①判别系统的能观性。
②计算特征多项式，即可写出。
③求变换矩阵，。
④求，计算，，也可以验证是否有。
５．如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。
能控标准Ⅰ型：
能观标准Ⅱ型：
八．线性系统的结构分解
1．按能控性分解（状态不完全能控，即），通过非奇异变换完成。
，前个列矢量是M中个线性无关的列，其他列矢量保证非奇异的条件下是任意的。
2．按能观性分解（状态不完全能观，即），通过非奇异变换完成。
，前个行矢量是N中个线性无关的行，其他行矢量保证非奇异的条件下是任意的。
3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。
步骤：
①首先按能控性分解（能控状态，不能控状态）。
②对不能控子系统按能观性分解（不能控能观状态，不能控不能观状态）。
③将能控子系统按能观性分解（能控能观状态，能控不能观状态）。
④综合各步变换结果，写出最后的表达式。
另一种方法：
化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。
九．传递函数阵的实现问题
1．实现的定义：
由写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。
条件：
①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s的真有理分式。
注意：
如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵。
2．能控标准型和能观标准型实现
单入单出系统，是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。
多输入多输出系统，是矩阵，将整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即；此时的是维常数阵。
其能控标准型和能观标准型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I，常数变为常数乘单位矩阵，即。
注意：
能控标准型实现的维数是；能观标准型实现的维数是。
3．最小实现（维数最小的实现）
为最小实现的充要条件是是完全能控能观的。
步骤：
对给定的，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。
注意：
传递函数阵的实现不是唯一
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