启未教育五升六奥数讲义Word格式.docx

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6.2+2724×

0.38

（2）1.25×

6.3+37×

0.125

（3）7.24×

0.1+0.5×

72.4+0.049×

724

（4）6.49×

0.22+258×

0.0649+5.3×

6.49+64.9×

0.19

【例2】：

（2+0.48+0.82）×

（0.48+0.82+0.56）-（2+0.48+0.82+0.56）×

（0.48+0.82）

思路导航：

整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把2+0.48+0.82用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A×

（B+0.56）-（A+0.56）×

B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.

解:

设A=2+0.48+0.82B=0.48+0.82,

原式=A×

B

=A×

B+A×

0.56-（A×

B+0.56×

B）

=A×

0.56-A×

B-0.56×

=0.56×

（A-B）

2

=1.12

同步导练二：

（1）（3.7+4.8+5.9）×

（4.8+5.9+7）-（3.7+4.8+5.9+7）×

（4.8+5.9）

（2）（4.6+4.8+7.1）×

（4.8+7.1+6）-（4.6+4.8+7.1+6）×

（4.8+7.1）

【例三】:

计算76.8÷

56×

14

这道题是乘除同级运算，解答时，利用添括号法则，在“÷

”后面添括号，括号里面要变号，“×

”变“÷

”，“÷

”变“×

”。

不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。

解:

76.8÷

=76.8÷

（56÷

14）

4

=19.2

同步导练三：

（1）144÷

15.6×

13

（2）

（3）

【例四】:

0.999×

0.7+0.111×

3.7

思路导航：

本类题可以将原式进行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算

=0.111×

9×

3.7

6.3+0.111×

（6.3+3.7）

10

=1.11

同步导练四:

（1）0.999×

0.6+0.111×

3.6

（2）0.222×

0.778+0.444×

0.111

（3）0.888×

0.9+0.222×

6.4（4）0.111×

5.5+0.555×

0.9

5.下面有两个小数:

a=0.00…0125b=0.00…08

1996个02000个0

试求a+b,a-b,ab,ab.

第2讲用等量代换求面积

　　一个量可以用它的等量来代替；

被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。

前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。

这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

　　例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：

厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

　　分析与解：

阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。

因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。

直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×

2÷

2=17（厘米2）。

　　所以，阴影部分的面积是17厘米2。

例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于

　　10×

8÷

2+10=50（厘米2）。

　　例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

求ED的长。

求ED的长，需求出EC的长；

求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。

因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。

也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。

　　例4下页上图中，ABCD是7×

4的长方形，DEFG是10×

2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

　　分析：

直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。

如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。

　　解法一：

连结B，E（见左下图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。

所求为4×

（10-7）÷

2-2×

2=3。

　　解法二：

连结C，F（见右上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。

　　解法三：

延长BC交GF于H（见下页左上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。

所求为（4+2）×

（10-7）=3。

　　解法四：

延长AB，FE交于H（见右上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。

（10-7）-（10-7）×

（4+2）÷

　　例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积

这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。

连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。

因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。

根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×

4÷

2=8（厘米2）。

练习：

　1.左下图（单位：

厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

　　2.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。

　　6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。

　　影部分的面积和。

第3讲逻辑问题

　　从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。

我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。

逻辑推理必须遵守四条基本规律：

（1）同一律。

在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。

（2）矛盾律。

在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。

例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。

（3）排中律。

在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。

例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。

（4）理由充足律。

在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。

　　我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。

例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。

在列表法中，对同一事件“√”与“×

”只有一个成立，就是利用了排中律。

　　例1张聪、王仁、陈来三位老师担任五

（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。

现知道：

（1）英语老师和数学老师是邻居；

（2）王仁年纪最小；

　　（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；

　　（4）体育老师比语文老师年龄大；

　　（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。

　　请判断各人分别教的是哪两门课程。

题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。

先设计出下图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×

”表示否定。

因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；

因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×

由（3）知，张聪不是体育、数学老师；

由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；

由

（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。

至此，得到右上表

由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；

由

（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。

至此，得到左下表。

　　由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；

由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；

最后得到张聪是英语老师，见右上表。

　　所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。

　　以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。

另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×

”这个隐含条件。

　　例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。

　　例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。

（1）小明不在一小；

（2）小芳不在二小；

　　（3）爱好乒乓球的不在三小；

　　（4）爱好游泳的在一小；

　　（5）爱好游泳的不是小芳。

　　问：

三人上各爱好什么运动？

各上哪所小学？

这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。

与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：

　　因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。

由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。

于是可将表1补全为表5。

对照表5和表4，得到：

小明在二小上学，爱好打乒乓球；

小芳在三小上学，爱好打羽毛球；

小花在一小上学，爱好游泳。

　　例1、例2用列表法求解。

下面，我们用分析推理的方法解例3、