高考数学玩转压轴题专题72创新型问题Word格式文档下载.docx
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【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末】2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施,如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距,用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长,给出下列式子:
①②③④
其中正确的式子的序号是()
A.②③B.①④C.①③D.②④
【答案】B
类型二创新性问题
【例2】设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使得f(x0)=-x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”.若函数f(x)=ax2-3x-a+在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题意,方程ax2-3x-a+=-x在区间[1,4]上有解,显然x≠1,所以方程ax2-3x-a+=-x在区间(1,4]上有解,即求函数a=在区间(1,4]上的值域,
令t=4x-5,则t∈(-1,11],a=,当t∈(-1,0]时,a≤0;
当t∈(0,11]时,0<a=≤=,当且仅当t=3时取等号.
综上,实数a的取值范围是.
【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的,但是考查的知识和能力并没有太大的变化,解决创新性问题应注意三点:
认真审题,确定目标;
深刻理解题意;
开阔思路,发散思维,运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略.
【例3】定义:
如果一个列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常,那么这个列叫作等差列,这个常叫作等差列的公差.已知向量列{an}是以a1=(1,3)为首项,公差为d=(1,0)的等差向量列,若向量an与非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,则=________.
【答案】-
【解析】易知an=(1,3)+(n-1,0)=(n,3),因为向量an与非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,
所以=-,所以=·
·
=×
×
=-.
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解。
对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求。
但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝。
【举一反三】【2017·
青岛一模】如果对定义在R上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”.
给出下列函数:
①y=x2;
②y=ex+1;
③y=2x-sinx;
④f(x)=以上函数是“H函数”的所有序号为________.
【答案】②③
④显然,函数f(x)为偶函数,而偶函数在y轴两侧的单调性相反,故不合题意.
综上,②③为“H函数”.
3.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=θ,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:
若=xe1+ye2(其中e1,e2分别是x轴,y轴正方向上的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y),向量的斜坐标为(x,y).
给出以下结论:
①若θ=60°
,P(2,-1),则||=;
②若P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2);
③若=(x1,y1),=(x2,y2),则·
=x1x2+y1y2;
④若θ=60°
,以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy-1=0.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①②④
三.强化训练
1.【北京市朝阳区2018届第一学期期末】伟大的数学家高斯说过:
几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发,借助以下两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式:
的一种“图形证明”.
证明思路:
(1)左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积;
(2)左图中阴影区域的面积为,右图中,设,右图阴影区域的面积可表示为_________(用含,的式子表示);
(3)由图中阴影面积相等,即可导出不等式.当且仅当满足条件__________________时,等号成立.
【答案】
2.若直角坐标平面内不同两点P,Q满足条件:
①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;
②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是______________.
【答案】
【解析】设点是函数的一个“伙伴点组”中的一个点,则其关于原点的对称点必在该函数图象上,故,消去,整理得.若函数有两个“伙伴点组”,则该方程有两个不等的正实数根,得,解得,即实数的取值范围是,故答案为.
3.【湖北省襄阳市2018届1月调研统测】若函数对定义域D内的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使得成立,则称f(x)为“自倒函数”.给出下列命题:
①是自倒函数;
②自倒函数f(x)可以是奇函数;
③自倒函数f(x)的值域可以是R;
④若都是自倒函数,且定义域相同,则也是自倒函数.
则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号).
【答案】①②
4.已知函数f(x)=alog2|x|+1(a≠0),定义函数给出下列命题:
①F(x)=|f(x)|;
②函数F(x)是奇函数;
③当a>
0时,若x1x2<
0,x1+x2>
0,则F(x1)+F(x2)>
0成立;
④当a<
0时,函数y=F(x2-2x-3)存在最大值,不存在最小值.
其中所有正确命题的序号是________.
【解析】 ①因为,而,这两个函数的定义域不同,不是同一函数,即不成立,①错误;
②当时,,
;
当时,,
,
所以函数是奇函数,②正确;
③当时,在上是单调增函数.若,不妨设,所以,又因为函数是奇函数,,所以,③正确;
④函数,
当时,因为,
所以既没有最大值,也没有最小值.
5.如图所示,放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:
①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;
②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);
③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;
④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.
其中判断正确的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
∴函数的周期是4,因此最终构成的图象如下:
①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,
∴①正确;
②由图象可知函数的周期是4,∴②正确;
③由图象可判断函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误;
④由图象可判断函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.
故答案为①②④.
6.【河北省定州中学2017-2018上学期第二次月考】设函数的定义域为,若函数满足下列两个条件,则称在定义域上是闭函数.①在上是单调函数;
②存在区间,使在上值域为.如果函数为闭函数,则的取值范围是_______.
故答案为
7.【湖南省长郡中学2018届高三月考】设函数的定义域为,如果,,使(为常数)成立,则称函数在上的均值为.给出下列四个函数:
①;
②;
③;
④.则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________.
【答案】③
8.【北京丰台二中2018届上学期期中考试】对于的子集,定义的“特征数列”为,,,,其中,其余项均为.例如:
子集的“特征数列”为,,,,,,.
()子集的“特征数列”的前项和等于__________.
()若的子集的“特征数列”,,,满足,,;
的子集的“特征数列”,,,满足,,,则的元素个数为__________.
【答案】217
【解析】
()据“特征数列”的定义可知子集的“特征数列”为,,,,,,,,故其前三项和为.
9.【2016·
开封联考】如图所示,由曲线y=x2,直线x=a,x=a+1(a>
0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间,即.运用类比推理,若对∀n∈N*,恒成立,则实数A=________.
【解析】令,
依据类比推理可得A1=dx=ln(n+1)-lnn,A2=dx=ln(n+2)-ln(n+1),…,An=dx=ln(2n)-ln(2n-1),所以A=A1+A2+…+An=ln(n+1)-lnn+ln(n+2)-ln(n+1)+…+ln(2n)-ln(2n-1)=ln(2n)-lnn=ln2.
10.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图325所示.现给出下列说法:
图325
①前5min温度增加的速度越来越快;
②前5min温度增加的速度越来越慢;
③5min以后温度保持匀速增加;
④5min以后温度保持不变.
其中正确的说法是________.(填序号)
【答案】②④
【解析】由图像可知前5min中温度增加,但是增加速度越来越慢,所以②对,①错。
5min以后温度图像是一条水平线,所以温度保持不变,④对,③错,选②④。
11.【湖北省枣阳市高级中学2018届上学期10月份月考】如图,多边形由一个矩形和一个去掉一个角的正方形组成,现有距离为且与边平行的两条直线截取该多边形所得图形(阴影部分)的面积为,其中表示与间的距离,当时,=__________.
12.【湖南省株洲市2018届质量统测】如表给出一个“等差数阵”:
其中每行、每列都是等差数列,表示位于第行第列的