江苏省扬州市学年度高一第一学期期末调研测试数学试题Word文档格式.docx
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12.已知函数与的零点完全相同,则=___.
13.设函数是定义域为的奇函数.若,且在上的最小值为,则的值为______.
14.设为实数,函数若在上不是单调函数,则实数的取值范围为_____.
二、解答题
15.已知函数的定义域为A,集合,非空集合,全集为实数集R.
(1)求集合和;
(2)若A∪C=A,求实数取值的集合.
16.已知向量
(1)若,求证:
;
(2)若向量共线,求.
17.函数(其中),若函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为,且函数的图象过点.
(1)求的解析式;
(2)求的单调增区间:
(3)求在的值域.
18.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:
甲城市收益与投入(单位:
万元)满足,乙城市收益与投入(单位:
万元)满足,设甲城市的投入为(单位:
万元),两个城市的总收益为(单位:
万元).
(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司总收益;
⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司总收益最大?
19.已知关于的函数为上的偶函数,且在区间上的最大值为10.设.
⑴求函数的解析式;
⑵若不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
⑶是否存在实数,使得关于的方程有四个不相等的实数根?
如果存在,求出实数的范围,如果不存在,说明理由.
20.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)函数若存在使得成立,求实数的取值范围;
(3)若函数讨论函数的零点个数(直接写出答案,不要求写出解题过程).
参考答案
1.
【解析】
根据并集的概念知.
2.
.
3.2
【分析】
设幂函数,将点代入函数的解析式,即可求得的解析式,进而求得.
【详解】
设
幂函数的图像过点
可得:
故答案为:
【点睛】
本题考查幂函数的基本性质,求出幂函数的解析式是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
4.偶
函数定义域为,且,故函数为偶函数.
5.10
,故周长为.
6.
原式
7.
原式.
8.
9.
依题意有,而,故,所以填
10.
画出,的图象如下图所示,由图可知,解集为.
11.
由于为定值,故点到的距离为定值,由面积得.点在平行于的直线上运动.当位于的垂直平分线上时,由于,此时三角形为等腰直角三角形,且.点在其它位置时.故.
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式,考查向量的数量积运算.由于在三角形中,一边为定值,而三角形的面积也为定值,故三角形的高也是定值,利用面积公式将定值求出为,由此画出图象,利用图象分析出,代入向量数量积运算可得取值范围.
12.
由于零点完全相同,故周期也相同,所以,即,由于,故,故,.
【点睛】本题主要考查和函数的图象与性质.题目所给两个函数中,含有一个未知参数,也含有一个未知参数,但是这两个未知参数的位置是不同的,根据零点相同可判断出两个函数周期相同,由此求得其中一个参数,再利用特殊值求出另一个参数.
13.2
由于奇函数定义域为,故,故.,解得,故,令,,故,二次函数,开口向上,当时取得最小值,解得.由于,故,所以.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查待定系数法求函数的解析式,考查利用换元法求函数的值域,考查二次函数的最值问题.由于是定义在上的奇函数,故有,如果奇函数在处没有定义,则没有这个条件.换元时要注意取值范围.
14.
,两段函数对称轴都为,当,即时,函数在定义域上递减,不符合题意.当,即时,函数在上不单调.
【点睛】本题主要考查含有绝对值函数分类讨论单调性,考查二次函数对称轴与单调区间的关系.由于所给函数既含有绝对值,又含有参数,故利用参数进行分类讨论,去绝对值,将函数写成分段函数的形式.两段函数联系点在对称轴都相同.
15.
(1),;
(2).
(1)∵函数的定义域为A,
,又由得,
(2),则即
又要使集合为非空集合,
则必须即
所以实数m的取值集合为
16.
(1)证明见解析;
【试题分析】
(1)计算即可证得两向量垂直.
(2)根据两个向量共线的公式,得到,化简求得,利用向量模的计算公式,计算出.
【试题解析】
(1)当时,
又
(2)因为向量共线,即
当,则与矛盾,故舍去;
当时,由得:
又
另解:
由得所以
17.
(1);
(2);
(3)
(1)依据题意可得函数周期为,利用周期公式算出,又函数过定点,即可求出,进而得出解析式;
(2)利用正弦函数的单调性代换即可求出函数的单调区间;
(3)利用换元法,设,结合在上的图象即可求出函数在的值域
(1)因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期为,由,得,又函数的图象过点,
所以,即,而,所以,
故的解析式为.
(2)由的单调增区间是可得
,解得
故故函数的单调递增区间是.
(3)设,,则,由在上的图象知,当时,当趋于时,函数值趋于1,
故在的值域为.
本题主要考查正弦型函数解析式的求法,正弦函数性质的应用,以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题,意在考查学生数学建模以及数学运算能力.
18.
(1)88万元;
(2)当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大.
(1)当甲万时,乙万,代入收益表达式可求得投资收益.
(2)设投资甲万,则投资乙万.对分成,两种情况,求出总收益的表达式,利用一次函数和二次函数最值求法求得最大值.
(1)当时,此时甲城市投资128万元,乙城市投资112万元
所以总收益(万元)
答:
总收益为88万元.
(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资万元
依题意得,解得
当时,
<
令,则
所以
当,即万元时,的最大值为
因为
故的最大值为(万元)
当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大,且最大收益为88万元
19.
(1);
(3)答案见解析.
(1)利用,化简后可求得.此时函数对称轴为轴,故当时取得最大值,由此求得.进而求得.
(2)将原不等式分离参数得到在上恒成立,利用换元法结合二次函数最值可求得.(3)先将原方程化为.利用换元法令,将上式变为二次函数零点问题来求解.
(1)∵为上的偶函数,,
,关于恒成立,
,在区间上的最大值为10,
当时,解得:
,
(2)不等式在上恒成立,即在上恒成立,
上式可化为在上恒成立,
令,∵,∴,则在上恒成立,
又∵当时,,∴,即所求实数的取值范围为
(3)方程,即,
可化为:
令,则,
若关于的方程有四个不相等的实数根,
则关于的方程必须有两个不相等的实数根和,
并且,记,
则,
解得:
,所以,存在实数使得关于的方程
有四个不相等的实数根,取值范围为
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,考查待定系数法求函数的解析式,考查恒成问题的处理策略和零点问题的处理方法.若函数满足则函数为偶函数,题目给出这个条件,利用这个条件就可以求得一个未知参数,再结合最大值就可以求得另一个未知参数.
20.
(1);
(1)先判断出函数的是定义在区间上的减函数,然后将所求不等式等价转化为即,由此求得解集为.
(2)由题意知:
时,值域有交集.时,是减函数对分成两类讨论得出的值域,由此求得的取值范围.(3)由,得,令则作出图像,对分类,结合图象讨论零点的个数.
(1),定义域为
函数是奇函数.
又在时是减函数,(也可用定义法证明)
故不等式等价于
即,
又
故不等式的解集为.
(2)由题意知:
时,值域有交集.
时,是减函数
当时,时单调递减,
当时,时单调递增,显然不符合
综上:
的取值范围为
(3)由,得,令则
作出图像
由图可知,①当时,由得出,
当时,,对应有3个零点;
当时,,对应有1个零点;
②当时,只有一个,对应有1个零点;
③当时,只有一个,对应只有一个零点;
④当时,,此时,,
由
得在时,,三个分别对应一个零点,共3个,
在时,,三个分别对应1个,1个,3个零点,共5个.
综上所述,当或或时,函数只有1个零点;
当或时,函数有3个零点;
当时,函数有5个零点.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性,考查存在性问题的处理策略,考查复杂的零点问题,考查数形结合与分类讨论的数学思想.要求复合函数不等式的解集,可先求得函数的单调性和奇偶性,由此将原不等式变形,利用单调性去掉外层函数符号,进而求出不等式的解集.