数学建模论文精品文档Word格式.docx
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问题分析
我们都知道鲈鱼的体重主要由鱼的身长、胸围决定。
一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。
但影响鲈鱼体重的因素并不唯一，我们要考虑单一变量对鱼体重的影响，即身体长度与体重的关系和胸围与体重的关系，我们要根据已知数据，利用相关软件进行模拟，来确定鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律。
模型假设
1．假设池塘里只有一种鲈鱼，不存在其他鱼种。
2．假设池塘里鲈鱼数量众多，分布均匀，密度相同。
3．假设鲈鱼全都正常生长，没有人为因素影响鲈鱼的发育与成长。
4．假设鲈鱼的体态用与胸围等周长，鲈鱼的躯干近似呈圆柱形。
5．假设鲈鱼的身长和胸围与体重成正相关关系。
符号说明
鲈鱼的身长
L
鲈鱼的胸围
C
鲈鱼的体重
W
模型三的待定系数
模型的建立与求解
模型一：
建立鲈鱼的身长与鲈鱼的体重的模型
为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：
方法一：
我们把图形可以近似看成一条抛物线，身长与体重近似成二次函数关系
通过多次拟合可得：
W=1.6247*L^2-59.3124*L+709.7392
（1）
根据拟合的函数，我们画出拟合图：
从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好.
方法二：
根据散点图决定利用三次多项式拟合得到的各项系数如下：
1-803008-37262
从而得到了拟合函数：
模型二：
鲈鱼体重与胸围的模型确立
仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：
从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式：
W=92*C-1497.5
根据拟合函数，画出胸围与体重关系的拟合图：
从图形上看，大部分点分布在直线左右，我们可以近似看成二者成线性关系。
模型三：
同时考虑身长、胸围对体重的影响：
此模型要用到基本假设4及即：
鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。
因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长表示：
.因此可以分析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。
于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：
，问题转化为对系数的求解。
利用MATLAB软件和已知的八组数据可以求出对应的值：
0.03030.03050.03220.03340.03260.03460.03380.0341
为了得到精确地模型对数据进行处理
0.0327
因此
模型检验
模型一
方法一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
拟合值（g）
466.6
479.9
674.4
727.3
1228.8
1339.4
相对误差（%）
3.2
0.44
5.7
3.44
4.93
5.75
3.57
0.86
平均相对误差为：
从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差较小，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
方法二：
得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：
454.4
481.4
695.5
726.6
1180.0
1377.1
5.73
0.12
6.04
6.67
1.41
5.02
1.64
3.44%
从表中的数据，我们可以看出方法二的相对误差小于方法一的相对误差，所以方法二的结果更贴近实际。
模型二
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
拟合值（cm）
462.1
489.7
609.3
784.1
1069.3
1428.1
4.13
1.60
7.86
6.55
6.39
2.50
7.98
2.81
平均相对误差为：
从表中的数据，我们可以看出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不太大。
模型三
重量估计值及相对误差
估算值（g）
740
472
1115
490
1491
616
3.25
2.12
4.05
0.42
7.37
5.58
7.87
4.0375%
根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响，用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际，更合适推广。
模型优点：
模型简单，易于理解
数据处理简明，计算思路清晰。
通过对比，结果更有说服力。
模型缺点：
模型是根据个人经验建立，可能存在误差。
鲈鱼呈梭形，看成圆柱较牵强。
画两散点图的程序：
x=[36.831.843.836.832.145.135.932.1];
y=[24.821.327.924.821.631.822.921.6];
z=[76548211627374821389652454;
plot（x,z,'
*'
）
xlabel（'
身长'
）;
ylabel（'
体重'
title（'
身长与体重散点图'
plot（y,z,'
胸围'
胸围与体重散点图'
画身长与体重拟合图程序：
z=[76548211627374821389652454];
x1=[30:
0.1:
50];
z1=1.6247.*x1.^2-59.312.*x1+709.7392
x1,z1）
身长与体重拟合图'
画胸围与体重拟合图程序：
y1=[20:
40]；
z1=92.*y1-1497.5;
y1,z1）
胸围与体重拟合图'
得到式
（1）、
（2）表达式的程序：
v1=polyfit（x,z,2）;
v2=polyfit（y,z,1）;
得到模型三的程序：
c=y.^2;
z=c.*x;
w=[76548211627374821389652454];
a=w./z;
sum（a）/8
建模中利用到MATLAB的程序如下
>
L=[31.832.132.135.936.836.843.845.1];
W=[48248245465273776511621389];
plot（L,W,'
L'
）,ylabel（'
W'
p=polyfit（L,W,3）
p=
1.0e+004*
0.0001-0.00800.3008-3.7262
C=[21.321.621.622.924.824.827.931.8];
W=[48248245465273776511621389];
a=W./L./C.^2
a=
0.03340.03220.03030.03460.03260.03380.03410.0305
鲈鱼体重问题
实验102
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