江苏高考二轮复习专题讲义专题一 函数与导数1Word文档下载推荐.docx

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南通一模）已知a为实常数,y=f（x）是定义在（-∞,0）∪（0,+∞）上的奇函数,且当x<

0时,f（x）=2x-+1.

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）若f（x）≥a-1对一切x>

0恒成立,求实数a的取值范围.

变式：

已知函数f（x）=x2+（x≠0,a∈R）.

（1）判断函数f（x）的奇偶性;

（2）若f（x）在区间[2,+∞）上是增函数,求实数a的取值范围.

例2.已知函数f（x）=-x2+2ex+m-1,g（x）=x+（x>

0）.

（1）若y=g（x）-m有零点,求实数m的取值范围;

（2）确定m的取值范围,使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根.

变式:

（2014·

天津卷）已知函数f（x）=|x2+3x|,x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为　　　　.

例3.已知函数f（x）＝－ax（x＞0且x≠1）．

（1）若函数f（x）在（1，＋∞）上为减函数，求实数a的最小值；

（2）若x1、x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）＋a成立，求实数a的取值范围.

【随堂检测及反馈】

1.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x＋ex（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为________．

2.已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为

3.若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是________．

4.已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为

5.（2014·

湖北卷改编）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f（x）=（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）.若∀x∈R,f（x-1）≤f（x）,则实数a的取值范围为　　　　.

【学后反思】

【课后巩固】

1.已知函数f（x）＝则满足f（x）≥1的x的取值范围是__________．

2.在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y＝ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y＝ex图象上的任意一点，则·

的最小值为________．

3.已知偶函数定义在实数集上，且的导函数在区间上恒成立，若，则的取值范围是▲．

4.已知函数f（x）＝|2x－3|，若0＜2a＜b＋1，且f（2a）＝f（b＋3），则T＝3a2＋b的取值范围为_________________．

镇江期末）已知a∈R,函数f（x）=x2-2ax+5.

（1）若不等式f（x）>

0对任意x∈（0,+∞）恒成立,求实数a的取值范围;

（2）若a>

1,且函数f（x）的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值.

6.已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2－bx（b为常数）．

（1）函数f（x）的图象在点（1，f

（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；

（2）设h（x）＝f（x）＋g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；

（3）若b＞1，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|＞|g（x1）－g（x2）|成立，求b的取值范围.

专题一函数与导数

（1）答案

【答案】　±

1

【解析】　方法一:

当a≥0时,f（a）=2a+1=3,解得a=1.当a<

0时,-a>

0,因为f（x）是定义在R上的偶函数,所以f（a）=f（-a）=2-a+1=3,解得a=-1.综上所述,a=±

1.

方法二:

因为f（x）是偶函数,所以f（a）=f（|a|）=2|a|+1=3,从而|a|=1,即a=±

【答案】　

【解析】　令y=f（x2）+f（k-x）=0,可得f（x2）=-f（k-x）=f（x-k）.又f（x）是R上的单调函数,故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解,由Δ=0,得k=.

【答案】　（21,24）

【解析】　画出函数f（x）的图象如图所示,由图形可知0<

a<

1,1<

b<

3,则f（a）=|log3a|=-log3a,f（b）=|log3b|=log3b,因为f（a）=f（b）,所以-log3a=log3b,所以ab=1.因为1<

3,f（b）=f（c）=f（d）,所以0<

f（c）=f（d）<

1,由0<

x2-x+8<

1,得3<

x<

4或6<

7,由于c<

d,且二次函数y=x2-x+8的图象的对称轴为x=5,故3<

c<

4且d=10-c,故abcd=c（10-c）=-（c-5）2+25∈（21,24）.

（第3题）

4．已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递减区间为．

5．已知,若对一切的恒成立，则实数a的取值范围为．

【分析】　

（1）由奇函数的性质研究函数的单调区间,只需研究在区间（-∞,0）的单调性即可,然后根据对称性即可得;

（2）先求出在x>

0时的f（x）的表达式,然后就a进行讨论求解.

【解答】　

（1）由奇函数的对称性可知,我们只要讨论f（x）在区间（-∞,0）上的单调性即可.

对y=f（x）求导,得f'

（x）=2+,令f'

（x）=0,得x=-a.

①当a≤0时,f'

（x）>

0,故f（x）在区间（-∞,0）上单调递增.

②当a>

0时,x∈（-∞,-a）,f'

0,

所以f（x）在区间（-∞,-a）上单调递增.

x∈（-a,0）,f'

（x）<

0,所以f（x）在区间（-a,0）上单调递减.

综上所述,当a≤0时,函数f（x）的单调增区间为（-∞,0）,（0,+∞）;

当a>

0时,f（x）的单调增区间为（-∞,-a）,（a,+∞）,单调减区间为（-a,0）,（0,a）.

（2）因为f（x）为奇函数,

所以当x>

0时,

f（x）=-f（-x）=-=2x+-1.

①当a<

0时,要使f（x）≥a-1对一切x>

0恒成立,

即2x+≥a对一切x>

0恒成立.

而当x=->

0时,有-a+4a≥a,所以a≥0,则与a<

0矛盾.所以a<

0不成立.

②当a=0时,f（x）=2x-1>

-1=a-1对一切x>

0成立,故a=0满足题设要求.

③当a>

0时,由

（1）可知f（x）在（0,a）上是减函数,在（a,+∞）上是增函数.

所以f（x）min=f（a）=3a-1>

a-1,所以a>

0时也满足题设要求.

综上所述,a的取值范围是[0,+∞）.

【点评】　

（1）单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.

（2）函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上,是简化问题的一种途径.

【解答】　

（1）当a=0时,f（x）=x2（x≠0）为偶函数;

当a≠0时,f（-x）≠f（x）,f（-x）≠-f（x）,

所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.

（2）f'

（x）=2x-,

要使f（x）在区间[2,+∞）上是增函数,

只需当x≥2时,f'

（x）≥0恒成立,即2x-≥0,

则a≤2x3∈[16,+∞）恒成立.

故若f（x）在区间[2,+∞）上是增函数,则实数a的取值范围为（-∞,16].

【分析】　

（1）零点问题常常被看作是图象的交点问题,分别作出y=g（x）和y=m的图象,然后判断交点即可;

（2）方程有两个相异的实根,即y=g（x）和y=f（x）有两个不同的交点,分别作出图象判断即可.

【解答】　

（1）方法一:

因为g（x）=x+≥2=2e,

当且仅当x=e时等号成立,

故g（x）的值域是[2e,+∞）,

因而y=g（x）-m有零点时实数m的取值范围是{m|m≥2e}.　

作出g（x）=x+（x>

0）的大致图象如图所示,

可知若y=g（x）-m有零点,则只需m≥2e.

图1　　　　图2

（例3）

（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异实根,即g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点,

0）的大致图象如图2所示.

因为f（x）=-x2+2ex+m-1=-（x-e）2+m-1+e2.

所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,

最大值为m-1+e2.

故当m-1+e2>

2e,即m>

-e2+2e+1时,g（x）与f（x）有两个交点,即g（x）-f（x）=0有两个相异实根.

所以实数m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞）.

【点评】　求函数零点的值,判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题,都可利用方程来求解,但当方程不易甚至不可能解出时,可构造两个函数,利用数形结合的方法进行求解.

【答案】　（0,1）∪（9,+∞）

在同一坐标系中画出f（x）=|x2+3x|和g（x）=a|x-1|的图象（如图1）,问题转化为f（x）与g（x）的图象恰有四个交点.当y=a（x-1）与y=x2+3x（或y=-a（x-1）与y=-x2-3x）相切时,f（x）与g（x）的图象恰有三个交点.把y=a（x-1）代入y=x2+3x,得x2+3x=a（x-1）,即x2+（3-a）x+a=0,由Δ=0,得（3-a）2-4a=0,解得a=1或a=9.又当a=0时,f（x）与g（x）仅两个交点,所以0<

1或a>

9.

图1　　　图2

（变式）

显然a≠1,所以a=.令t=x-1,则

a=.因为t+∈（-∞,-4]∪[4,+∞）,所以t++5∈（-∞,1]∪[