六年级奥数第六讲立体几何教案汇编Word格式.docx

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③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．

如果它的棱长为，那么：

，．

二、圆柱与圆锥

立体图形

表面积

体积

圆柱

圆锥

注：

是母线，即从顶点到底面圆上的线段长

例题精讲

【例1】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：

2228（平方厘米）；

左右方向、前后方向：

22416（平方厘米），1144（平方厘米），41（平方厘米），4（平方厘米），这个立体图形的表面积为：

41（平方厘米）.

【例2】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：

锯的总次数2增加的面数．

原正方体表面积：

1166（平方米），一共锯了（21）（31）（41）6次，

6112618（平方米）．

【例3】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.

设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.

【例4】（2008年“希望杯”五年级第2试）如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．

【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：

（平方厘米），

重叠部分的面积为：

所以，所得到的多面体的表面积为：

（平方厘米）．

（法2）三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米,从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘米．

表面积为（平方厘米）．

【例5】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．

【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：

2个上面个左面个前面．上表面的面积为：

9平方厘米，左表面的面积为：

8平方厘米，前表面的面积为：

10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：

上下面左右面前后面

【例6】棱长是厘米（为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为，此时的最小值是多少?

【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为，而，所以小正方体的总数是25的倍数，即是25的倍数，那么是5的倍数．

当时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有个，表面没有红色的小正方体有

个，个数比恰好是，符合题意.因此，的最小值是5．

【例7】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？

【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．

在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（个），用黑色的；

在面上但不在边上的小正方体有（个），其中个用黑色．

这样，在表面的个的正方形中，有22个是黑色，（个）是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．

【例8】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

【解析】每个长方体的棱长和是厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．

要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个面，有个；

涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个面，有个；

若两面相邻，应涂一个面和一个面，此时有个，所以涂两面的最少有105个；

涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个面、一个面，有个；

若三面两两相邻，有个，所以涂三面的最少有146个．

那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有个．

【例9】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？

【解析】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．

当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设，那么分成的小正方体个数为

，为了使小正方体的个数尽量少，应使最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当时它们的和最小，此时共有

个小正方体．

当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令，此时共有个小正方体．

因为，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．

【例10】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有（个）．

（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？

”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明是红色方格数的最大值．

对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：

⑴⑵⑶

⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色．

⑵如图，阴影部分是首尾相接由个方格组成的环，这9个方格中只能有个方格能染成同一种颜色（如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：

先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格），像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的个方格中最多能有个可染成红色．

⑶剩下个方格，分布在条棱上，这个格子中只能有个能染成红色．

综上所述，能被染成红色的方格最多能有个格子能染成红色，第一种解法中已经给出个红方格的染色方法，所以个格子染成红色是最多的情况

【例11】一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方体.

因为，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是厘米，第二次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求．

那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：

（立方厘米）.

【例12】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不同，标的为黑色，图中共有黑色积木多少块？

【解析】分层来看，如下图（切面平行于纸面）共有黑色积木17块

【例13】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？

表面积为多少？

【解析】求体积：

开了的孔，挖去，开了的孔，

挖去；

开了的孔，

挖去，

剩余部分的体积是：

（另解）将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：

得到总体积为：

求表面积：

　　　　表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为，内部的面积可以分为前

　　　　后、左右、上下三个方向，面积分别为、

　　　　、，所以总的表面积为

　　　　．

　　　　（另解）运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：

　　　　前后方向：

上下方向：

　　左右方向：

　　　　总表面积为．

【总结】“切片法”：

全面打洞（例如本题，五层一样），挖块成线（例如本题，在前一层的基础上，一条线一条

线地挖），这里体现的思想方法是：

化整为零，有序思考！

【例14】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．

【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：

其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．

对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．

由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．

对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到（如下左图，切去、、、）；

而对于右图