全等三角形辅助线旋转与平移Word文档格式.docx
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(2)将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
【例2】(顺义区2009一模第25题)已知:
在中,,在中,,连结,取的中点,连结和.
⑴若点在边上,点在边上且与点不重合,如图①,探索、的关系并给予证明;
⑵如果将图①中的绕点逆时针旋转小于的角,如图②,那么⑴中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;
如果成立,请给予证明.
【例3】在四边形中,设,分别为,的中点,求证,当且仅当时等号成立.
【例4】如图所示,在的边上取两点、,使,连接、,求证:
.
对角互补类
【例5】如图,,为的角平分线,将一三角板的直角顶点固定在点,另外两边分别交,于,两点,证明:
【例6】如图,,为的角平分线,且角的两边分别交,于,两点,证明:
【例7】如图,在四边形中,,,于,若四边形的面积为18,求的长.
【例8】直角三角形中;
为的中点,绕着点逆时针旋转到,求重叠部分的面积.
【例9】已知,在四边形中,,对角线平分,在的延长线上任取一点,连接,作,使与的延长线交于,连结,请画出完整图形,探究:
线段、、之间具有怎样的数量关系,并说明理由
【例10】
(1)如图1,四边形中,,,,请你猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,四边形中,,,若点为四边形内一点,且,请你猜想线段、、之和与线段的数量关系,并证明你的结论.
平移
【例11】如图所示,在中,,为上的一点,且;
为上的一点,且.连接、交于点,求证:
.
【例12】(07年北京中考)如图,已知
⑴请你在边上分别取两点、(的中点除外),连结、,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明.
【例13】如图14-1,的边在直线上,,且;
的边也在直线上,边与边重合,且.
(1)在图14-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系;
(2)将沿直线向左平移到图14-2的位置时,交于点,连结,.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将沿直线向左平移到图14-3的位置时,的延长线交的延长线于点,连结,.你认为
(2)中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;
若不成立,请说明理由.
平移加旋转
【例14】如图,已知E是正方形ABCD的边AB的中点,∠B的外角∠CBG的平分线BF交DE的垂线EF于F。
(1)DE与EF是什么关系?
(不用证明)
(2)若E为AB上的任意一点(点A、B除外),结论
(1)还成立吗?
若成立,给出证明,若不成立,请说明理由。
【例15】(年全国初中数学联赛)如图,梯形中,,以两腰,为一边分别向两边作正方形和,连接的垂直平分线交线段于点.求证:
点为的中点.
旋转不变性
08年北京中考真题
1.中点倍长
08年宣武二模
25.已知正方形ABCD和等腰,BE=EF,∠BEF=,按图1放置,使点F在BC上,取DF的中点G,联结EG、CG.
(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明;
(2)将图1中△BEF绕B点顺时针旋转,再联结DF,取DF中点G(如图2),问
(1)中的结论是否仍然成立?
证明你的结论;
(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在到之间),再联结DF,取DF的中点G(如图3),问
(1)中的结论是否仍然成立?
证明你的结论.
图1图2图3
2.旋转拼凑
09崇文一模
08朝阳一模
探究操作题
(江苏盐城)如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º
当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置
关系为,数量关系为.
当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º
,点D在线段BC上运动.
试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?
画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
(3)若AC=,BC=3,在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF
相交于点P,求线段CP长的最大值.
08年门头沟二模
25.如图,把一副三角板如图1放置,其中∠ACB=∠DEC=90°
,∠A=45°
,∠D=30°
,斜边AB=6cm,DC=7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转得到△D/CE/如图2.这时AB与CD/相交于点O,D/E/与AB相交于点F.
(1)求∠OFE/的度数;
(2)求线段AD/的长.(3)若把三角形D/CE/绕着点C顺时针再旋转得△D//CE//,这时点B在△D//CE//的内部、外部、还是边上?
证明你的判断.
08东城一模
25.已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=900,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.
(1)如图1,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果);
(2)如图2,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE=,两块三角板重叠部分的面积为,求出的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)若,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E,设CF=,两块三角板重叠部分的面积为,求出的函数关系,并写出自变量的取值范围.
08年石景山二模
25.我们做如下的规定:
如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变,则把这样的三角形称为三角形板.
把两块边长为4的等边三角形板和叠放在一起,使三角形板的顶点与三角形板的AC边中点重合,把三角形板固定不动,让三角形板绕点旋转,设射线与射线相交于点M,射线与线段相交于点N.
(1)如图1,当射线经过点,即点与点重合时,易证△ADM∽△CND.此
时,AM·
CN= .
(2)将三角形板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转,设旋转角为
.其中,问AM·
CN的值是否改变?
说明你的理由.
(3)在
(2)的条件下,设AM=x,两块三角形板重叠面积为,求与的函数
关系式.(图2,图3供解题用)
线段和差问题
08海淀一模
25.已知:
如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q.
(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个);
(2)当满足什么条件时,有AQ+BC=CQ,请证明你的结论;
(3)当点Q在AD的什么位置时,可证得PC=3PQ,并写出解答过程.
等分面积题
08石景山一模
25.阅读下面问题的解决过程:
问题:
已知△ABC中,P为BC边上一定点,过点P作一直线,
使其等分△ABC的面积.
解决:
情形1:
如图①,若点P恰为BC的中点,作直线AP即可.
情形2:
如图②,若点P不是BC的中点,则取BC的中点D,联结AP,
过点D作DE∥AP交AC于E,作直线PE,直线PE即为所求直线.
图①图②
问题解决:
如图③,已知四边形ABCD,过点B作一直线
(不必写作法),使其等分四边形ABCD的面积,并证明.
新定义型
(07北京中考真题)我们知道:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地,我们定义:
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
(2)如图,在中,点、分别在、上,设、相交于,若,,请你写出图中一个与相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
(3)在中,如果是不等于60º
的锐角,点、分别在、上,且,探究:
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
08年房山二模
七、解答题(本题满分7分)23.四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两个端点的距离相等,则称这点为这个四边形的准等距点.如图l,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点,PD=PB,PA≠PC,则点P为四边形ABCD的准等距点.
(1)如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.
(2)如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点
(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).
(3)如图4,在四边形ABCD中,P是AC上的点,PA≠PC,延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF.求证:
点P是四边形ABCD的准等距点.
延伸类题目
25.如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上,,
MH与六边形外角的平分线BQ交于H点.
(1)当点M不与点A、B重合时,求证:
∠AFM=∠BMH;
(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B
重合)时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.