第3讲 等比数列及其前n项和Word文件下载.docx
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(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列.
(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).
常用结论
1.正确理解等比数列的单调性
当q>
1,a1>
0或0<
q<
1,a1<
0时,{an}是递增数列;
0时,{an}是递减数列;
当q=1时,{an}是常数列;
当q=-1时,{an}是摆动数列.
2.记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),
,{a
},{an·
bn},
仍是等比数列.
(2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.
(4){an}为等比数列,若a1·
a2·
…·
an=Tn,则Tn,
,
,…成等比数列.
(5)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·
qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件,此时k=
.
(6)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.
二、习题改编
1.(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.
解析:
设该数列的公比为q,由题意知,
192=3×
q3,q3=64,所以q=4.
所以插入的两个数分别为3×
4=12,12×
4=48.
答案:
12,48
2.(必修5P51例3改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
,则公比q=________.
由题意知q3=
=
,所以q=
3.(必修5P61A组T1改编)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若
,则{an}的通项公式an=________.
因为
,所以
=-
,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-
,q=-
,则an=-1×
-
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)与等差数列类似,等比数列的各项可以是任意一个实数.( )
(2)公比q是任意一个常数,它可以是任意实数.( )
(3)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )
(1)×
(2)×
(3)×
二、易错纠偏
(1)忽视项的符号判断;
(2)忽视公比q=1的特殊情况;
(3)忽视等比数列的项不为0.
1.在等比数列{an}中,a3=4,a7=16,则a3与a7的等比中项为________.
设a3与a7的等比中项为G,因为a3=4,a7=16,所以G2=4×
16=64,所以G=±
8.
±
8
2.数列{an}的通项公式是an=an(a≠0),则其前n项和Sn=________.
因为a≠0,an=an,所以{an}是以a为首项,a为公比的等比数列.当a=1时,Sn=n;
当a≠1时Sn=
3.已知x,2x+2,3x+3是一个等比数列的前三项,则x的值为________.
因为x,2x+2,3x+3是一个等比数列的前三项,
所以(2x+2)2=x(3x+3),
即x2+5x+4=0,
解得x=-1或x=-4.
当x=-1时,数列的前三项为-1,0,0,
不是等比数列,舍去.
-4
[学生用书P101]
等比数列基本量的运算(师生共研)
(1)(2019·
高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )
A.16 B.8
C.4 D.2
(2)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
①求{an}的通项公式;
②记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【解】
(1)选C.设等比数列{an}的公比为q,由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4,得q2=4,因为数列{an}的各项均为正数,所以q=2,又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4.
(2)①设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
②若an=(-2)n-1,则Sn=
.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.
解决等比数列有关问题的2种常用思想
方程的思想
等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解
分类讨论的思想
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;
当q≠1时,{an}的前n项和Sn=
1.(一题多解)(2019·
高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=
,a
=a6,则S5=________.
通解:
设等比数列{an}的公比为q,因为a
=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=
,所以q=3,所以S5=
优解:
=a6,所以a2a6=a6,所以a2=1,又a1=
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
解:
设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②
联立①和②解得
(舍去),
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
等比数列的判定与证明(师生共研)
(2018·
高考全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
【解】
(1)由条件可得an+1=
an.
将n=1代入得,a2=4a1,
而a1=1,所以,a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,
所以,a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得
即bn+1=2bn,
又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由
(2)可得
=2n-1,所以an=n·
2n-1.
等比数列的4种常用判定方法
定义法
若
=q(q为非零常数,n∈N*)或
=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中,an≠0且a
=an·
an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列
通项
若数列通项公式可写成an=c·
qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列
前n项和
若数列{an}的前n项和Sn=k·
qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列
[提醒]
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;
后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an,求证:
{bn}是等比数列.
证明:
因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,
所以
=2.
因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.
所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?
若存在,求出λ的值和通项公式an,若不存在,请说明理由.
(1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3,
当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9,
当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.
(2)假设{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.
下面证明{an+3}为等比数列:
因为Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3n-3,所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,
所以2(an+3)=an+1+3,所以
=2,
所以存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.
所以an+3=6×
2n-1,即an=3(2n-1)(n∈N*).
等比数列的性质(多维探究)
角度一 等比数列项的性质
(1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>
0,q>
1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=________.
【解析】
(1)因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,
所以a10a11=e5.
所以lna1+lna2+…+lna20
=ln(a1a2…a20)
=ln[(a1a20)·
(a2a19)·
(a10a11)]
=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)
=10lne5=50lne=50.
(2)由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由
且an>
1,得a3=4,a5=16,所以
解得
所以S5=
=31.
【答案】
(1)50
(2)31
角度二 等比数列前n项和的性质